Рассчитать объем пирамиды усеченной. Площадь боковой поверхности усеченной пирамиды

Площадь боковой поверхности усеченной пирамиды

Усеченная пирамида – это многогранник, который образуется основанием пирамиды и параллельным ему сечением. Можно сказать, что усеченная пирамида – это пирамиду со срезанной верхушкой. Эта фигура обладает множеством уникальных свойств:

  • Боковые грани пирамиды являются трапециями;
  • Боковые ребра правильной усеченной пирамиды одинаковой длины и наклонены к основанию под одинаковым углом;
  • Основания являются подобными многоугольниками;
  • В правильной усеченной пирамиде, грани представляют собой одинаковые равнобедренные трапеции, площадь которых равна. Также они наклонены к основанию под одним углом.

Формула площади боковой поверхности усеченной пирамиды представляет собой сумму площадей ее сторон:

Так как стороны усеченной пирамиды представляют собой трапеции, то для расчета параметров придется воспользоваться формулой площади трапеции. Для правильной усеченной пирамиды можно применить другую формулу расчета площади. Так как все ее стороны, грани, и углы при основании равны, то можно применить периметры основания и апофему, а также вывести площадь через угол при основании.

Если по условиям в правильной усеченной пирамиде даны апофема (высота боковой стороны) и длины сторон основания, то можно произвести расчет площади через полупроизведение суммы периметров оснований и апофемы:

Для начала найдем периметры оснований. Так как нам дана пятиугольная пирамида, мы понимаем, что основания представляют собой пятиугольники. Значит, в основаниях лежит фигура с пятью одинаковыми сторонами. Найдем периметр большего основания:

Таким же образом находим периметр меньшего основания:

Теперь можем рассчитывать площадь правильной усеченной пирамиды. Подставляем данные в формулу:

Таким образом, мы рассчитали площадь правильной усеченной пирамиды через периметры и апофему.

Еще один способ расчета площади боковой поверхности правильной пирамиды, это формула через углы у основания и площадь этих самых оснований.

Пусть дана правильная четырехугольная пирамида. Грань нижнего основания a = 6 см, а грань верхнего b = 4 см. Двухгранный угол при основании β = 60°. Найдите площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды.

Для начала рассчитаем площадь оснований. Так как пирамида правильная, все грани оснований равны между собой. Учитывая, что в основании лежит четырехугольник, понимаем, что нужно будет рассчитать площадь квадрата. Она представляет собой произведение ширины на длину, но в квадрате эти значения совпадают. Найдем площадь большего основания:


Теперь используем найденные значения для расчета площади боковой поверхности.

Читать еще:  Dishonored: Death of the Outsider: Прохождение. Расположение картин в Dishonored: Death of the Outsider

Зная несколько несложных формул, мы легко рассчитали площадь боковой трапеции усеченной пирамиды через различные значения.

Площадь боковой поверхности и объем усеченной пирамиды: формулы и пример решения типовой задачи

При изучении свойств фигур в трехмерном пространстве в рамках стереометрии часто приходится решать задачи на определение объема и площади поверхности. В данной статье покажем, как для усеченной пирамиды объем и площадь боковой поверхности вычислить, используя известные формулы.

Пирамида в геометрии

В геометрии обычной пирамидой называют фигуру в пространстве, которая построена на некотором плоском n-угольнике. Все вершины его соединены с одной точкой, расположенной вне плоскости многоугольника. Для примера приведем фото, где изображена пятиугольная пирамида.

Вам будет интересно: Профиль крыла самолета: виды, технические и аэродинамические характеристики, метод расчета и наибольшая подъемная сила

Эта фигура образована гранями, вершинами и ребрами. Пятиугольная грань называется основанием. Остальные треугольные грани образуют боковую поверхность. Точка пересечения всех треугольников — это главная вершина пирамиды. Если из нее опустить перпендикуляр на основание, то возможны два варианта положения точки пересечения:

  • в геометрическом центре, тогда пирамида называется прямой;
  • не в геометрическом центре, тогда фигура будет наклонной.

Далее будем рассматривать только прямые фигуры с правильным n-угольным основанием.

Что это за фигура — усеченная пирамида?

Чтобы определить объем усеченной пирамиды, необходимо четко понимать, о какой фигуре конкретно идет речь. Внесем ясность в этот вопрос.

Предположим, что мы взяли секущую плоскость, которая параллельна основанию обычной пирамиды, и отсекли с помощью нее часть боковой поверхности. Если эту операцию проделать с изображенной выше пятиугольной пирамидой, то получится такая фигура, как на рисунке ниже.

Из фото видно, что эта пирамида имеет уже два основания, причем верхнее является подобным нижнему, но по размерам оно меньше. Боковая поверхность представлена уже не треугольниками, а трапециями. Они являются равнобедренными, а их число соответствует количеству сторон основания. Усеченная фигура не имеет главной вершины, как обычная пирамида, а ее высота определяется расстоянием между параллельными основаниями.

В общем случае, если рассматриваемая фигура образована n-угольными основаниями, она имеет n+2 грани, или стороны, 2*n вершин и 3*n ребер. То есть усеченная пирамида является многогранником.

Читать еще:  "Аэробус А320": описание, схема салона, лучшие места, фото. Лучшие места и схема салона Airbus A320 S7 Airlines

Формула объема усеченной пирамиды

Напомним, что объем обычной пирамиды равен 1/3 произведения ее высоты и площади основания. Для усеченной пирамиды эта формула не подходит, поскольку она имеет два основания. А ее объем будет всегда меньше, чем аналогичная величина для обычной фигуры, из которой она получена.

Не вдаваясь в математические подробности получения выражения, приведем конечную формулу для объема усеченной пирамиды . Она записывается в следующем виде:

V = 1/3*h*(S1 + S2 + √(S1*S2))

Здесь S1 и S2 — площади нижнего и верхнего оснований соответственно, h — высота фигуры. Записанное выражение является справедливым не только для прямой правильной усеченной пирамиды, но и для любой фигуры данного класса. Причем независимо от вида многоугольников основания. Единственным условием, ограничивающим применение выражения для V, является необходимость параллельности друг другу оснований пирамиды.

Несколько важных выводов можно сделать, изучая свойства этой формулы. Так, если площадь верхнего основания равна нулю, тогда мы приходим к формуле для V обычной пирамиды. Если же площади оснований равны друг другу, то получаем формулу для объема призмы.

Как определить площадь боковой поверхности?

Знание характеристик усеченной пирамиды предполагает не только умение рассчитывать ее объем, но и знать, как определять площадь боковой поверхности.

Пирамида усеченная состоит из двух типов граней:

  • равнобедренные трапеции;
  • многоугольные основания.

Если в основаниях находится правильный многоугольник, то расчет его площади не представляет больших трудностей. Для этого нужно знать лишь длину стороны a и их количество n.

В случае с боковой поверхностью расчет ее площади предполагает определение этой величины для каждой из n трапеций. Если n-угольник является правильным, то формула для площади боковой поверхности принимает вид:

Здесь hb — высота трапеции, которая называется апотемой фигуры. Величины a1 и a2 — это длины сторон правильных n-угольных оснований.

Для каждой правильной n-угольной усеченной пирамиды можно однозначно определить апотему hb через параметры a1 и a2 и высоту h фигуры.

Задача на вычисление объема и площади фигуры

Дана правильная треугольная усеченная пирамида. Известно, что ее высота h равна 10 см, а длины сторон оснований равны 5 см и 3 см. Чему равны объем усеченной пирамиды и площадь ее боковой поверхности?

Сначала вычислим величину V. Для этого следует найти площади равносторонних треугольников, находящихся в основаниях фигуры. Имеем:

S1 = √3/4*a12 = √3/4*52 = 10,825 см2;

S2 = √3/4*a22 = √3/4*32 = 3,897 см2

Читать еще:  Видеть во сне свой живот. Что значит увиденный во сне живот? Кто был в положении

Подставляем данные в формулу для V, получаем искомый объем:

V = 1/3*10*(10,825 + 3,897 + √(10,825 *3,897 )) ≈ 70,72 см3

Чтобы определить боковую поверхность, следует знать длину апотемы hb. Рассматривая соответствующий прямоугольный треугольник внутри пирамиды, можно для него записать равенство:

hb = √((√3/6*(a1 — a2))2 + h2) ≈ 10,017 см

Значение апотемы и сторон треугольных оснований подставляем в выражение для Sb и получаем ответ:

Sb = hb*n*(a1+a2)/2 = 10,017*3*(5+3)/2 ≈ 120,2 см2

Таким образом, мы ответили на все вопросы задачи: V ≈ 70,72 см3, Sb ≈ 120,2 см2.

Калькулятор онлайн расчета площади боковой поверхности правильной усеченной пирамиды трапеции с отображением формулы и подробным решением.

Калькулятора онлайн рассчитывает площадь боковой и полной поверхности правильной усеченной пирамиды и выводит формулы с подробным решением.

Использование онлайн калькулятора позволяет рассчитать площадь боковой Sside и полной Sfull поверхности правильной треугольной пирамиды: боковая поверхность правильной усеченной пирамиды равна произведению полусуммы периметров оснований на апофему.

расчет площади боковой поверхности правильной усеченной пирамиды

II. Для справки:

1. Пирамида — это многогранник, у которого одна грань — основание пирамиды — произвольный многоугольник, а остальные — боковые грани — треугольники с общей вершиной, называемой вершиной пирамиды. Перпендикуляр опущенный из вершины пирамиды на ее основание, называется высотой пирамиды. Пирамида называется треугольной, четырехугольной, и т.д., если основанием пирамиды является треугольник, четырехугольник и т.д. Треугольная пирамида есть четырехгранник — тетраэдр. Четырехугольная — пятигранник и т.д.

2. Усеченная пирамида — часть пирамиды между ее основанием и этим сечением. Сечение параллельное основанию пирамиды делит пирамиду на две части. Это сечение для усеченной пирамиды является одним из её оснований. Расстояние между основаниями усеченной пирамиды называется высотой усеченной пирамиды. Усеченная пирамида называется правильной, если пирамида, из которой она была получена, была правильной. Все боковые грани правильной усеченной пирамиды — это равные равнобокие трапеции. Высота трапеции боковой грани правильной усеченной пирамиды называется — апофема правильной усеченной пирамиды.

3. Правильная усеченная пирамида — это многогранник, у которого одна грань — основание пирамиды — правильный многоугольник, а остальные — боковые грани — равные треугольники с общей вершиной. Высота опускается в центр основания из вершины.

4. Площадь геометрической фигуры — численная характеристика геометрической фигуры показывающая размер этой фигуры (части поверхности, ограниченной замкнутым контуром данной фигуры). Величина площади выражается числом заключающихся в нее квадратных единиц.

5. Площадь поверхности — аддитивная числовая характеристика поверхности.

Источники:

http://2mb.ru/matematika/geometriya/ploshhad-bokovoj-poverxnosti-usechennoj-piramidy/
http://1ku.ru/obrazovanie/44532-ploshhad-bokovoj-poverhnosti-i-obem-usechennoj-piramidy-formuly-i-primer-reshenija-tipovoj-zadachi/
http://cae-cube.ru/ploshhad-bokovoj-poverhnosti-pravilnoj-usechennoj-piramidy.html

Ссылка на основную публикацию
Статьи на тему:

Adblock
detector