Расстояние от точки до прямой метод координат. Расстояние от точки до прямой (2019)

Определение расстояния от точки до прямой

Расстояние от точки до прямой – это длина перпендикуляра, опущенного из точки на прямую. В начертательной геометрии она определяется графическим путем по приведенному ниже алгоритму.

  1. Прямую переводят в положение, в котором она будет параллельна какой-либо плоскости проекции. Для этого применяют методы преобразования ортогональных проекций.
  2. Из точки проводят перпендикуляр к прямой. В основе данного построения лежит теорема о проецировании прямого угла.
  3. Длина перпендикуляра определяется путем преобразования его проекций или с использованием способа прямоугольного треугольника.

На следующем рисунке представлен комплексный чертеж точки M и прямой b, заданной отрезком CD. Требуется найти расстояние между ними.

Согласно нашему алгоритму, первое, что необходимо сделать, это перевести прямую в положение, параллельное плоскости проекции. При этом важно понимать, что после проведенных преобразований фактическое расстояние между точкой и прямой не должно измениться. Именно поэтому здесь удобно использовать метод замены плоскостей, который не предполагает перемещение фигур в пространстве.

Результаты первого этапа построений показаны ниже. На рисунке видно, как параллельно b введена дополнительная фронтальная плоскость П4. В новой системе (П1, П4) точки C»1, D»1, M»1 находятся на том же удалении от оси X1, что и C», D», M» от оси X.

Выполняя вторую часть алгоритма, из M»1 опускаем перпендикуляр M»11 на прямую b»1, поскольку прямой угол MND между b и MN проецируется на плоскость П4 в натуральную величину. По линии связи определяем положение точки N’ и проводим проекцию M’N’ отрезка MN.

На заключительном этапе нужно определить величину отрезка MN по его проекциям M’N’ и M»11. Для этого строим прямоугольный треугольник M»11N, у которого катет N»1N равен разности (YM1 – YN1) удаления точек M’ и N’ от оси X1. Длина гипотенузы M»1N треугольника M»11N соответствует искомому расстоянию от M до b.

Читать еще:  Количество вещества, моль, молярная масса и молярный объем. Молярный объем газообразных веществ

Второй способ решения

  • Параллельно CD вводим новую фронтальную плоскость П4. Она пересекает П1 по оси X1, причем X1∥C’D’. В соответствии с методом замены плоскостей определяем проекции точек C»1, D»1 и M»1, как это изображено на рисунке.
  • Перпендикулярно C»11 строим дополнительную горизонтальную плоскость П5, на которую прямая b проецируется в точку C’2 = b’2.
  • Величина расстояния между точкой M и прямой b определяется длиной отрезка M’2C’2, обозначенного красным цветом.

Расстояние от точки до прямой метод координат. Расстояние от точки до прямой (2019)

  • +7 (953) 35-222-89
  • Санкт-Петербург, Лиговский пр.52
  • Kyziaha@gmail.com

Метод координат (расстояние между точкой и плоскостью, между прямыми)

Расстояние между точкой и плоскостью.

Расстояние между точкой и прямой.

Расстояние между двумя прямыми.

Первое, что полезно знать, это как найти расстояние от точки до плоскости:

Значения A, B, C, D — коэффициенты плоскости

x, y, z — координаты точки

Задача. Найти расстояние между точкой А = (3; 7; −2) и плоскостью 4x + 3y + 13z — 20 = 0.

Все дано, можно сразу подставить значения в уравнение:

Задача. Найдите расстояние от точки К = (1; −2; 7) до прямой, проходящей через точки V = (8; 6; −13) и T = (−1; −6; 7).

  1. Находим вектор прямой.
  2. Вычисляем вектор, проходящий через искомую точку и любую точку на прямой.
  3. Задаем матрицу и находим определитель по двум полученным векторам в 1-ом и 2-ом пункте.
  4. Расстояние получим, когда квадратный корень из суммы квадратов коэффициентов матрицы поделим на длину вектора, который задает прямую (Думаю непонятно, поэтому перейдем к конкретному примеру).

1) TV = (8−(−1); 6−(−6); -13-7) = (9; 12; −20)

2) Вектор найдем через точки K и T, хотя так же можно было бы через K и V или любую другую точку на данной прямой.

Читать еще:  Вредная манная каша для подростка. Манная каша — польза и вред для детей и взрослых

TK = (1−(−1); −2−(−6); 7-7) = (2; 4; 0)

3) П олучится м атрица без коэффициента D (здесь он не нужен для решения):

Если непонятно, как получить матрицу и ее определитель, смотрите здесь более подробный разбор.

4) Плоскость получилась с коэффициентами А = 80, В = 40, С = 12,

x, y, z — координаты вектора прямой, в данном случае — вектор TV имеет координаты (9; 12; −20)

Задача. Найти расстояние между прямой, проходящей через точки Е = (1; 0; −2), G = (2; 2; −1), и прямой, проходящей через точки M = (4; −1; 4), L = (−2; 3; 0).

  1. Задаем векторы обеих прямых.
  2. Находим вектор, взяв по одной точке с каждой прямой.
  3. Записываем матрицу из 3-х векторов (две строчки из 1-го пункта, одна строчка из 2-го) и находим ее численный определитель.
  4. Задаем матрицу из двух первых векторов (в пункте 1). Первую строчку задаем как x, y, z.
  5. Расстояние получим, когда разделим получившееся значение из пункта 3 по модулю на квадратный корень из суммы квадратов пункта 4.

Перейдем к цифрам:

1) EG = (2−1; 2−0; −1−2) = (1; 2; −3)

ML = (−2−4; 3−(−1); 0−4) = (−6; 4; −4)

2) Найдем вектор EM (можно было так же найти EL или GM, или GL).

EM = (1−4; 0−(−1); −2−4) = (−3; 1; −6)

3) Составляем матрицу из трех выше найденных векторов и находим определитель.

4) Составляем матрицу из первых двух выше найденных векторов и находим определитель

без коэффициента D (здесь он не нужен для решения).

Вспомним, что уравнение плоскости задается так:

В нашем случае А = 4, В = 22, С = 16, D = 0.

5) Итоговая формула выглядит так, где L= −86 (из 3 пункта)

Определение расстояния от точки до прямой

Расстояние от точки до прямой – это длина перпендикуляра, опущенного из точки на прямую. В начертательной геометрии она определяется графическим путем по приведенному ниже алгоритму.

  1. Прямую переводят в положение, в котором она будет параллельна какой-либо плоскости проекции. Для этого применяют методы преобразования ортогональных проекций.
  2. Из точки проводят перпендикуляр к прямой. В основе данного построения лежит теорема о проецировании прямого угла.
  3. Длина перпендикуляра определяется путем преобразования его проекций или с использованием способа прямоугольного треугольника.
Читать еще:  Медовый месяц в августе. Свадебное путешествие в августе - куда поехать? Свадебное путешествие в Испанию

На следующем рисунке представлен комплексный чертеж точки M и прямой b, заданной отрезком CD. Требуется найти расстояние между ними.

Согласно нашему алгоритму, первое, что необходимо сделать, это перевести прямую в положение, параллельное плоскости проекции. При этом важно понимать, что после проведенных преобразований фактическое расстояние между точкой и прямой не должно измениться. Именно поэтому здесь удобно использовать метод замены плоскостей, который не предполагает перемещение фигур в пространстве.

Результаты первого этапа построений показаны ниже. На рисунке видно, как параллельно b введена дополнительная фронтальная плоскость П4. В новой системе (П1, П4) точки C»1, D»1, M»1 находятся на том же удалении от оси X1, что и C», D», M» от оси X.

Выполняя вторую часть алгоритма, из M»1 опускаем перпендикуляр M»11 на прямую b»1, поскольку прямой угол MND между b и MN проецируется на плоскость П4 в натуральную величину. По линии связи определяем положение точки N’ и проводим проекцию M’N’ отрезка MN.

На заключительном этапе нужно определить величину отрезка MN по его проекциям M’N’ и M»11. Для этого строим прямоугольный треугольник M»11N, у которого катет N»1N равен разности (YM1 – YN1) удаления точек M’ и N’ от оси X1. Длина гипотенузы M»1N треугольника M»11N соответствует искомому расстоянию от M до b.

Второй способ решения

  • Параллельно CD вводим новую фронтальную плоскость П4. Она пересекает П1 по оси X1, причем X1∥C’D’. В соответствии с методом замены плоскостей определяем проекции точек C»1, D»1 и M»1, как это изображено на рисунке.
  • Перпендикулярно C»11 строим дополнительную горизонтальную плоскость П5, на которую прямая b проецируется в точку C’2 = b’2.
  • Величина расстояния между точкой M и прямой b определяется длиной отрезка M’2C’2, обозначенного красным цветом.

Источники:

http://ngeometry.ru/rasstoyanie-ot-tochki-do-pryamoy.html
http://ik-study.ru/ege_math/zagholovok_stat_i0
http://ngeometry.ru/rasstoyanie-ot-tochki-do-pryamoy.html

Ссылка на основную публикацию
Статьи на тему:

Adblock
detector