Решение примеров с формулами дифференцирования. Найти производную: алгоритм и примеры решений

Примеры решения производных с ответами

Простое объяснение принципов решения производных и 10 наглядных примеров. В каждом примере поэтапный ход решения и ответ.

Алгоритм решения производных

Внимание!

Если вам нужна помощь в написании работы, то рекомендуем обратиться к профессионалам. Более 70 000 авторов готовы помочь вам прямо сейчас. Бесплатные корректировки и доработки. Узнайте стоимость своей работы

Для вычисления производных вам потребуется таблица производных. Кроме того, существуют формулы для нахождения сложных производных.

Процесс нахождения производный называется дифференцированием.

  1. 0, c neq 1″ title=»Rendered by QuickLaTeX.com» height=»21″ width=»233″ style=»vertical-align: -5px;» />
  2. 0, c neq 1″ title=»Rendered by QuickLaTeX.com» height=»21″ width=»192″ style=»vertical-align: -5px;» />

– производная суммы (разницы).

– производная произведения.

– производная частного.

Примеры решений производных

Задача

Найти производную функции

Решение

Заданная функция является сложной и её производная равна произведению производной от косинуса на производную от его аргумента:

Ответ

Задание

Найти производную функции

Решение

Обозначим , где . Тогда, согласно правила вычисления производной сложной функции, получим:

Ответ

Задача

Найти производную функции при .

Решение

.
.

Ответ

.

Задача

Найти производную функции .

Решение

.
После приведения подобных членов получаем:
.

Ответ

.

Задача

Найти производную функции .

Решение

В этом примере квадратный корень извлекается из суммы . Поэтому сначала вычисляем производную от квадратного корня, а затем умножаем ее на производную от подкоренного выражения:
.

Ответ

.

Задача

Найти производную функции .

Решение

Применяя правила дифференцирования дробей, получаем:

.
Применяя правила дифференцирования котангенса, получаем:
.
Учитывая, что и , после упрощения получим:
.

Ответ

.

Задача

Найти производную функции .

Решение

Применяя правила дифференцирования дробей, получаем:
.

Ответ

.

Задача

Найти производную функции .

Решение

Применяя правила дифференцирования дробей, получаем:
.

Ответ

.

Задача

Найти производную функции .

Решение

Дифференцирование можно произвести в два этапа: вначале продифференцировать степень функции арксинус, а затем произвести дифференцирование самого арксинуса, перемножив результаты:
.

Ответ

.

Задача

Найти производную функции .

Решение

По правилам дифференцирования показательной функции с основанием , производная этой функции равна произведению самой функции на производную функции, являющейся показателем степени:
.

Ответ

.

Решение производной для чайников: определение, как найти, примеры решений

Решать физические задачи или примеры по математике совершенно невозможно без знаний о производной и методах ее вычисления. Производная — одно из важнейших понятий математического анализа. Этой фундаментальной теме мы и решили посвятить сегодняшнюю статью. Что такое производная, каков ее физический и геометрический смысл, как посчитать производную функции? Все эти вопросы можно объединить в один: как понять производную?

Ежедневная рассылка с полезной информацией для студентов всех направлений – на нашем телеграм-канале.

Геометрический и физический смысл производной

Пусть есть функция f(x), заданная в некотором интервале (a, b). Точки х и х0 принадлежат этому интервалу. При изменении х меняется и сама функция. Изменение аргумента – разность его значений х-х0. Эта разность записывается как дельта икс и называется приращением аргумента. Изменением или приращением функции называется разность значений функции в двух точках. Определение производной:

Читать еще:  Употребление неполных предложений в разговорной речи. Презентация к уроку по русскому языку (8 класс) на тему: Неполное предложение

Производная функции в точке – предел отношения приращения функции в данной точке к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю.

Иначе это можно записать так:

Какой смысл в нахождении такого предела? А вот какой:

Геометрический смысл производной: производная от функции в точке равна тангенсу угла между осью OX и касательной к графику функции в данной точке.

Физический смысл производной: производная пути по времени равна скорости прямолинейного движения.

Действительно, еще со школьных времен всем известно, что скорость – это частное пути x=f(t) и времени t. Средняя скорость за некоторый промежуток времени:

Чтобы узнать скорость движения в момент времени t0 нужно вычислить предел:

Кстати, о том, что такое пределы и как их решать, читайте в нашей отдельной статье.

Приведем пример, иллюстрирующий практическое применение производной. Пусть тело движется то закону:

Нам нужно найти скорость в момент времени t=2c. Вычислим производную:

Правила нахождения производных

Сам процесс нахождения производной называется дифференцированием. Функция, которая имеет производную в данной точке, называется дифференцируемой.

Как найти производную? Согласно определению, нужно составить отношение приращения функции и аргумента, а затем вычислить предел при стремящемся к нулю приращении аргумента. Конечно, можно вычислять все производные так, но на практике это слишком долгий путь. Все уже давно посчитано до нас. Ниже приведем таблицу с производными элементарных функций, а затем рассмотрим правила вычисления производных, в том числе и производных сложных функций с подробными примерами.

Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы

Правило первое: выносим константу

Константу можно вынести за знак производной. Более того — это нужно делать. При решении примеров по математике возьмите за правило — если можете упростить выражение, обязательно упрощайте.

Пример. Вычислим производную:

Правило второе: производная суммы функций

Производная суммы двух функций равна сумме производных этих функций. То же самое справедливо и для производной разности функций.

Не будем приводить доказательство этой теоремы, а лучше рассмотрим практический пример.

Найти производную функции:

Правило третье: производная произведения функций

Производная произведения двух дифференцируемых функций вычисляется по формуле:

Пример: найти производную функции:

Решение:

Здесь важно сказать о вычислении производных сложных функций. Производная сложной функции равна произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по независимой переменной.

В вышеуказанном примере мы встречаем выражение:

В данном случае промежуточный аргумент – 8х в пятой степени. Для того, чтобы вычислить производную такого выражения сначала считаем производную внешней функции по промежуточному аргументу, а потом умножаем на производную непосредственно самого промежуточного аргумента по независимой переменной.

Правило четвертое: производная частного двух функций

Формула для определения производной от частного двух функций:

Мы постарались рассказать о производных для чайников с нуля. Эта тема не так проста, как кажется, поэтому предупреждаем: в примерах часто встречаются ловушки, так что будьте внимательны при вычислении производных.

Читать еще:  Критерии стратификации по уорнеру. Основные стратификационные теории и критерии стратификации

С любым вопросом по этой и другим темам вы можете обратиться в студенческий сервис. За короткий срок мы поможем решить самую сложную контрольную и разобраться с заданиями, даже если вы никогда раньше не занимались вычислением производных.

Производная сложной функции

Функции сложного вида не всегда подходят под определение сложной функции. Если имеется функция вида y = sin x — ( 2 — 3 ) · a r c t g x x 5 7 x 10 — 17 x 3 + x — 11 , то ее нельзя считать сложной в отличие от y = sin 2 x .

Данная статья покажет понятие сложной функции и ее выявление. Поработаем с формулами нахождения производной с примерами решений в заключении. Применение таблицы производных и правила дифференцирования заметно уменьшают время для нахождения производной.

Основные определения

Сложной функцией считается такая функция, у которой аргумент также является функцией.

Обозначается это таким образом: f ( g ( x ) ) . Имеем, что функция g ( x ) считается аргументом f ( g ( x ) ) .

Если есть функция f и является функцией котангенса, тогда g ( x ) = ln x – это функция натурального логарифма. Получаем, что сложная функция f ( g ( x ) ) запишется как arctg(lnx). Или функция f , являющаяся функцией возведенной в 4 степень, где g ( x ) = x 2 + 2 x — 3 считается целой рациональной функцией, получаем, что f ( g ( x ) ) = ( x 2 + 2 x — 3 ) 4 .

Очевидно, что g ( x ) может быть сложной. Из примера y = sin 2 x + 1 x 3 — 5 видно, что значение g имеет кубический корень с дробью. Данное выражение разрешено обозначать как y = f ( f 1 ( f 2 ( x ) ) ) . Откуда имеем, что f – это функция синуса, а f 1 — функция, располагаемая под квадратным корнем, f 2 ( x ) = 2 x + 1 x 3 — 5 — дробная рациональная функция.

Степень вложенности определено любым натуральным числом и записывается как y = f ( f 1 ( f 2 ( f 3 ( . . . ( f n ( x ) ) ) ) ) ) .

Понятие композиция функции относится к количеству вложенных функций по условию задачи. Для решения используется формула нахождения производной сложной функции вида

( f ( g ( x ) ) ) ‘ = f ‘ ( g ( x ) ) · g ‘ ( x )

Примеры

Найти производную сложной функции вида y = ( 2 x + 1 ) 2 .

По условию видно, что f является функцией возведения в квадрат, а g ( x ) = 2 x + 1 считается линейной функцией.

Применим формулу производной для сложной функции и запишем:

f ‘ ( g ( x ) ) = ( ( g ( x ) ) 2 ) ‘ = 2 · ( g ( x ) ) 2 — 1 = 2 · g ( x ) = 2 · ( 2 x + 1 ) ; g ‘ ( x ) = ( 2 x + 1 ) ‘ = ( 2 x ) ‘ + 1 ‘ = 2 · x ‘ + 0 = 2 · 1 · x 1 — 1 = 2 ⇒ ( f ( g ( x ) ) ) ‘ = f ‘ ( g ( x ) ) · g ‘ ( x ) = 2 · ( 2 x + 1 ) · 2 = 8 x + 4

Необходимо найти производную с упрощенным исходным видом функции. Получаем:

y = ( 2 x + 1 ) 2 = 4 x 2 + 4 x + 1

Отсюда имеем, что

y ‘ = ( 4 x 2 + 4 x + 1 ) ‘ = ( 4 x 2 ) ‘ + ( 4 x ) ‘ + 1 ‘ = 4 · ( x 2 ) ‘ + 4 · ( x ) ‘ + 0 = = 4 · 2 · x 2 — 1 + 4 · 1 · x 1 — 1 = 8 x + 4

При решении задач такого вида важно понимать, где будет располагаться функция вида f и g ( x ) .

Следует найти производные сложных функций вида y = sin 2 x и y = sin x 2 .

Первая запись функции говорит о том, что f является функцией возведения в квадрат, а g ( x ) – функцией синуса. Тогда получим, что

y ‘ = ( sin 2 x ) ‘ = 2 · sin 2 — 1 x · ( sin x ) ‘ = 2 · sin x · cos x

Вторая запись показывает, что f является функцией синуса, а g ( x ) = x 2 обозначаем степенную функцию. Отсюда следует, что произведение сложной функции запишем как

y ‘ = ( sin x 2 ) ‘ = cos ( x 2 ) · ( x 2 ) ‘ = cos ( x 2 ) · 2 · x 2 — 1 = 2 · x · cos ( x 2 )

Формула для производной y = f ( f 1 ( f 2 ( f 3 ( . . . ( f n ( x ) ) ) ) ) ) запишется как y ‘ = f ‘ ( f 1 ( f 2 ( f 3 ( . . . ( f n ( x ) ) ) ) ) ) · f 1 ‘ ( f 2 ( f 3 ( . . . ( f n ( x ) ) ) ) ) · · f 2 ‘ ( f 3 ( . . . ( f n ( x ) ) ) ) · . . . · f n ‘ ( x )

Найти производную функции y = sin ( ln 3 a r c t g ( 2 x ) ) .

Данный пример показывает сложность записи и определения расположения функций. Тогда y = f ( f 1 ( f 2 ( f 3 ( f 4 ( x ) ) ) ) ) обозначим, где f , f 1 , f 2 , f 3 , f 4 ( x ) является функцией синуса, функцией возведения в 3 степень, функцией с логарифмом и основанием е , функцией арктангенса и линейной.

Из формулы определения сложной функции имеем, что

y ‘ = f ‘ ( f 1 ( f 2 ( f 3 ( f 4 ( x ) ) ) ) ) · f 1 ‘ ( f 2 ( f 3 ( f 4 ( x ) ) ) ) · · f 2 ‘ ( f 3 ( f 4 ( x ) ) ) · f 3 ‘ ( f 4 ( x ) ) · f 4 ‘ ( x )

Читать еще:  Оберег от неприятностей: самый сильный способ защиты. Когда подруги *воруют* удачу

Получаем, что следует найти

  1. f ‘ ( f 1 ( f 2 ( f 3 ( f 4 ( x ) ) ) ) ) в качестве производной синуса по таблице производных, тогда f ‘ ( f 1 ( f 2 ( f 3 ( f 4 ( x ) ) ) ) ) = cos ( ln 3 a r c t g ( 2 x ) ) .
  2. f 1 ‘ ( f 2 ( f 3 ( f 4 ( x ) ) ) ) в качестве производной степенной функции, тогда f 1 ‘ ( f 2 ( f 3 ( f 4 ( x ) ) ) ) = 3 · ln 3 — 1 a r c t g ( 2 x ) = 3 · ln 2 a r c t g ( 2 x ) .
  3. f 2 ‘ ( f 3 ( f 4 ( x ) ) ) в качестве производной логарифмической, тогда f 2 ‘ ( f 3 ( f 4 ( x ) ) ) = 1 a r c t g ( 2 x ) .
  4. f 3 ‘ ( f 4 ( x ) ) в качестве производной арктангенса, тогда f 3 ‘ ( f 4 ( x ) ) = 1 1 + ( 2 x ) 2 = 1 1 + 4 x 2 .
  5. При нахождении производной f 4 ( x ) = 2 x произвести вынесение 2 за знак производной с применением формулы производной степенной функции с показателем, который равняется 1 , тогда f 4 ‘ ( x ) = ( 2 x ) ‘ = 2 · x ‘ = 2 · 1 · x 1 — 1 = 2 .

Производим объединение промежуточных результатов и получаем, что

y ‘ = f ‘ ( f 1 ( f 2 ( f 3 ( f 4 ( x ) ) ) ) ) · f 1 ‘ ( f 2 ( f 3 ( f 4 ( x ) ) ) ) · · f 2 ‘ ( f 3 ( f 4 ( x ) ) ) · f 3 ‘ ( f 4 ( x ) ) · f 4 ‘ ( x ) = = cos ( ln 3 a r c t g ( 2 x ) ) · 3 · ln 2 a r c t g ( 2 x ) · 1 a r c t g ( 2 x ) · 1 1 + 4 x 2 · 2 = = 6 · cos ( ln 3 a r c t g ( 2 x ) ) · ln 2 a r c t g ( 2 x ) a r c t g ( 2 x ) · ( 1 + 4 x 2 )

Разбор таких функций напоминает матрешки. Правила дифференцирования не всегда могут быть применены в явном виде при помощи таблицы производных. Зачастую нужно применять формулу нахождения производных сложных функций.

Существуют некоторые различия сложного вида от сложных функций. При явном умении это различать, нахождение производных будет давать особенно легко.

Необходимо рассмотреть на приведении подобного примера. Если имеется функция вида y = t g 2 x + 3 t g x + 1 , тогда ее можно рассмотреть в качестве сложной вида g ( x ) = t g x , f ( g ) = g 2 + 3 g + 1 . Очевидно, что необходимо применение формулы для сложной производной:

f ‘ ( g ( x ) ) = ( g 2 ( x ) + 3 g ( x ) + 1 ) ‘ = ( g 2 ( x ) ) ‘ + ( 3 g ( x ) ) ‘ + 1 ‘ = = 2 · g 2 — 1 ( x ) + 3 · g ‘ ( x ) + 0 = 2 g ( x ) + 3 · 1 · g 1 — 1 ( x ) = = 2 g ( x ) + 3 = 2 t g x + 3 ; g ‘ ( x ) = ( t g x ) ‘ = 1 cos 2 x ⇒ y ‘ = ( f ( g ( x ) ) ) ‘ = f ‘ ( g ( x ) ) · g ‘ ( x ) = ( 2 t g x + 3 ) · 1 cos 2 x = 2 t g x + 3 cos 2 x

Функция вида y = t g x 2 + 3 t g x + 1 не считается сложной, так как имеет сумму t g x 2 , 3 t g x и 1 . Однако, t g x 2 считается сложной функцией, то получаем степенную функцию вида g ( x ) = x 2 и f , являющуюся функцией тангенса. Для этого следует продифференцировать по сумме. Получаем, что

y ‘ = ( t g x 2 + 3 t g x + 1 ) ‘ = ( t g x 2 ) ‘ + ( 3 t g x ) ‘ + 1 ‘ = = ( t g x 2 ) ‘ + 3 · ( t g x ) ‘ + 0 = ( t g x 2 ) ‘ + 3 cos 2 x

Переходим к нахождению производной сложной функции ( t g x 2 ) ‘ :

f ‘ ( g ( x ) ) = ( t g ( g ( x ) ) ) ‘ = 1 cos 2 g ( x ) = 1 cos 2 ( x 2 ) g ‘ ( x ) = ( x 2 ) ‘ = 2 · x 2 — 1 = 2 x ⇒ ( t g x 2 ) ‘ = f ‘ ( g ( x ) ) · g ‘ ( x ) = 2 x cos 2 ( x 2 )

Получаем, что y ‘ = ( t g x 2 + 3 t g x + 1 ) ‘ = ( t g x 2 ) ‘ + 3 cos 2 x = 2 x cos 2 ( x 2 ) + 3 cos 2 x

Функции сложного вида могут быть включены в состав сложных функций, причем сами сложные функции могут являться составными функции сложного вида.

Для примера рассмотрим сложную функцию вида y = log 3 x 2 + 3 cos 3 ( 2 x + 1 ) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x · ( x 2 + 1 )

Данная функция может быть представлена в виде y = f ( g ( x ) ) , где значение f является функцией логарифма по основанию 3 , а g ( x ) считается суммой двух функций вида h ( x ) = x 2 + 3 cos 3 ( 2 x + 1 ) + 7 e x 2 + 3 3 и k ( x ) = ln 2 x · ( x 2 + 1 ) . Очевидно, что y = f ( h ( x ) + k ( x ) ) .

Рассмотрим функцию h ( x ) . Это отношение l ( x ) = x 2 + 3 cos 3 ( 2 x + 1 ) + 7 к m ( x ) = e x 2 + 3 3

Имеем, что l ( x ) = x 2 + 3 cos 2 ( 2 x + 1 ) + 7 = n ( x ) + p ( x ) является суммой двух функций n ( x ) = x 2 + 7 и p ( x ) = 3 cos 3 ( 2 x + 1 ) , где p ( x ) = 3 · p 1 ( p 2 ( p 3 ( x ) ) ) является сложной функцией с числовым коэффициентом 3 , а p 1 — функцией возведения в куб, p 2 функцией косинуса, p 3 ( x ) = 2 x + 1 — линейной функцией.

Получили, что m ( x ) = e x 2 + 3 3 = q ( x ) + r ( x ) является суммой двух функций q ( x ) = e x 2 и r ( x ) = 3 3 , где q ( x ) = q 1 ( q 2 ( x ) ) — сложная функция, q 1 — функция с экспонентой, q 2 ( x ) = x 2 — степенная функция.

Отсюда видно, что h ( x ) = l ( x ) m ( x ) = n ( x ) + p ( x ) q ( x ) + r ( x ) = n ( x ) + 3 · p 1 ( p 2 ( p 3 ( x ) ) ) q 1 ( q 2 ( x ) ) + r ( x )

При переходе к выражению вида k ( x ) = ln 2 x · ( x 2 + 1 ) = s ( x ) · t ( x ) видно, что функция представлена в виде сложной s ( x ) = ln 2 x = s 1 ( s 2 ( x ) ) с целой рациональной t ( x ) = x 2 + 1 , где s 1 является функцией возведения в квадрат, а s 2 ( x ) = ln x — логарифмической с основанием е .

Отсюда следует, что выражение примет вид k ( x ) = s ( x ) · t ( x ) = s 1 ( s 2 ( x ) ) · t ( x ) .

Тогда получим, что

y = log 3 x 2 + 3 cos 3 ( 2 x + 1 ) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x · ( x 2 + 1 ) = = f n ( x ) + 3 · p 1 ( p 2 ( p 3 ( x ) ) ) q 1 ( q 2 ( x ) ) = r ( x ) + s 1 ( s 2 ( x ) ) · t ( x )

По структурам функции стало явно, как и какие формулы необходимо применять для упрощения выражения при его дифференцировании. Для ознакомления подобных задач и и для понятия их решения необходимо обратиться к пункту дифференцирования функции, то есть нахождения ее производной.

Источники:

http://nauchniestati.ru/spravka/primery-resheniya-proizvodnyh/
http://zaochnik-com.ru/blog/proizvodnaya-dlya-chajnikov-opredelenie-kak-najti-primery-reshenij/
http://zaochnik.com/spravochnik/matematika/proizvodnye/proizvodnaja-slozhnoj-funktsii/

Ссылка на основную публикацию
Статьи на тему:

Adblock
detector