Внеклассный урок — модуль числа. Модуль числа (абсолютная величина числа), определения, примеры, свойства

Внеклассный урок — модуль числа. Модуль числа (абсолютная величина числа), определения, примеры, свойства

Модуль числа

Модулем числа называется само это число, если оно неотрицательное, или это же число с противоположным знаком, если оно отрицательное.

Например, модулем числа 5 является 5, модулем числа –5 тоже является 5.

То есть под модулем числа понимается абсолютная величина, абсолютное значение этого числа без учета его знака.

Правило:

4) Модуль произведения чисел равен произведению модулей этих чисел:

6) Модуль частного чисел равен отношению модулей этих чисел:

7) Модуль суммы чисел меньше или равен сумме их модулей:

8) Модуль разности чисел меньше или равен сумме их модулей:

9) Модуль суммы/разности чисел больше или равен модулю разности их модулей:

10) Постоянный положительный множитель можно вынести за знак модуля:

11) Степень числа можно вынести за знак модуля:

|а k | = |а| k , если а k существует

Геометрический смысл модуля.

Модуль числа – это величина расстояния от нуля до этого числа.

Для примера возьмем снова число 5. Расстояние от 0 до 5 такое же, что и от 0 до –5 (рис.1). И когда нам важно знать только длину отрезка, то знак не имеет не только значения, но и смысла. Впрочем, не совсем верно: расстояние мы измеряем только положительными числами – или неотрицательными числами. Пусть цена деления нашей шкалы составляет 1 см. Тогда длина отрезка от нуля до 5 равна 5 см, от нуля до –5 тоже 5 см.

На практике часто расстояние отмеряется не только от нуля – точкой отсчета может быть любое число (рис.2). Но суть от этого не меняется. Запись вида |a – b| выражает расстояние между точками а и b на числовой прямой.

Пример 1 . Решить уравнение |х – 1| = 3.

Смысл уравнения в том, что расстояние между точками х и 1 равно 3 (рис.2). Поэтому от точки 1 отсчитываем три деления влево и три деления вправо – и наглядно видим оба значения х:
х1 = –2, х2 = 4.

Читать еще:  О чем произведение горький детство. Максим Горький - (Автобиографическая трилогия)

Можем и вычислить.

Пример 2 . Найти модуль выражения:

Сначала выясним, является ли выражение положительным или отрицательным. Для этого преобразуем выражение так, чтобы оно состояло из однородных чисел. Не будем искать корень из 5 – это довольно сложно. Поступим проще: возведем в корень 3 и 10. Затем сравним величину чисел, составляющих разность:

3 = √9. Следовательно, 3√5 = √9 · √5 = √45

10 = √100.

Мы видим, что первое число меньше второго. Значит, выражение отрицательное, то есть его ответ меньше нуля:

Абсолютная величина. Модуль.

Абсолютными величинами называются — объем или размер события, которое изучается или явления, процесса, который выражен в соответствующих единицах измерения в конкретных условиях места и времени.Или, другими словами: это просто число без учёта знака (всегда с плюсом).

Абсолютное значение величины — это само число (без знака), как например: температура, давление, скорость и т. п. Модуль — это число без направления, например: давление, скорость, сила и т. п.

Абсолютная величина числа или модуль числа x — неотрицательное число, определение которого зависит от типа числа x. Обозначается: |x|.

Если x вещественный, то абсолютная величина – это непрерывная кусочно-линейная функция, которая определяется так, формула:

Обобщением этого понятия есть модуль комплексного числа z=x+iy, иногда называют абсолютной величиной. Его определяют формулой:

Абсолютные величины, виды:

  • Индивидуальная абсолютная величина — характеризует единицу совокупности,
  • Суммарная абсолютная величина — характеризует группу единиц или всю совокупность.

Свойства модуля.

  • Модулю присущи некоторые характерные результаты — свойства модуля.
  • Модуль числа не бывает числом меньше нуля. Обоснование этого свойства: модуль числа – это расстояние, а расстояние не выражается числом ниже нуля.
  • Модуль числа = 0 только в том случае, если это число является нулем. Модуль нуля – это нуль по определению. Нуль – это начало отсчета, ни одна больше точка на координатной прямой нулем не является. Исходя из этого, каждому числу, не равному нулю, соответствует точка, не являющаяся началом отсчета. Значит, расстояние начало отсчета – любая точка, не соответствующая точке O, не равно нулю, т.к. расстояние между 2 точка и равно нулю только если они совпадают. Из этого следует, что нулю равен только модуль нуля.
  • Противоположные числа имеют одинаковые модули, т.е. , для каждого числа a. Так и есть, 2 точки на координатной прямой, координаты которых – противоположные числа, расположены на равном расстоянии от начала отсчета, т.о. модули противоположных чисел одинаковы.
  • По определению модуль произведения чиселa и b равен либо a·b, если , либо −(a·b), если . Из правил умножения действительных чисел следует, что произведение модулей чисел a и b равно либо a·b , , либо −(a·b) , если , что доказывает рассматриваемое свойство.
  • Модуль частного от деленияa на b = частному от деления модуля числа a на модуль числа b, т.е.,
Читать еще:  Решение примеров с формулами дифференцирования. Найти производную: алгоритм и примеры решений

.

Так как частное = , то . В силу предыдущего свойства имеем . Воспользуемся равенством , которое справедливо в силу определения модуля числа.

  • — неравенство треугольника, где a, b и c – произвольные действительные числа.

Основные свойства абсолютной величины.

Вещественные числа.

  • Область определения: .
  • Область значений: .
  • Функция чётная.
  • Функция дифференцируема везде, кроме нуля. В точке x = 0 функция претерпевает излом.

Комплексные числа.

  • Область определения: вся комплексная плоскость.
  • Область значений: .
  • Модуль как комплексная функция не дифференцируется ни в одной точке.

Алгебраические свойства абсолютной величины.

Для каждого имеют место следующие соотношения:

  • ,
  • ,
  • ,

Как для вещественных, так и для комплексных a, b имеют место соотношения:

  • , причём только если ,
  • ,
  • неравенство треугольника,
  • ,
  • ,
  • ,
  • , если a k существует.

Конспект урока «Абсолютная величина»

Курс повышения квалификации за 340 рублей!

Эмоциональное выгорание педагогов. Профилактика и способы преодоления

Тема: Абсолютная величина действительного числа а.

Цель: 1. повторить и уточнить знания учащихся; рассмотреть свойства модуля; закрепить навык в упрощении выражений, содержащих модуль.

2. Развивать логическое мышление, память учащихся.

3. Воспитывать интерес к математике, ответственное отношение к учебному труду.

1. Определение. Абсолютной величиной (модулем) действительного числа а называется само число а , если оно неотрицательное, и число противоположное а , если а отрицательное.

2 . Рассмотреть основные свойства модуля

Пример: Упростить выражение

Решение: Дробь определена для любых значений а .

При а 2 | = | а | 2 = а 2 , имеем: Ответ: а –2 при а ≥0, –( а +2) при а 1:

3. Геометрическая интерпретация модуля.

Каждому действительному числу можно поставить в соответствие точку числовой прямой, тогда эта точка будет геометрическим изображением данного числа.

Каждой точке числовой прямой соответствует ее расстояние от начала отсчета или длина соответствующего отрезка, величина которого всегда неотрицательная. Таким образом, геометрическая интерпретация модуля действительного числа а будет рассматриваться как расстояние от начала отсчета до точки, изображающей число (рис. 13).

Пример : Решить уравнение .

Решение: Поскольку является расстоянием между неизвестной точкой М( х ) и точкой М(4), то для решения данного уравнения нужно найти все точки М( х ), которые удалены на расстояние, равное 3 от точки М(4). Таких
точек две: М(7) и М(1), т.е. решением уравнения являются

Читать еще:  Как солить сало в рассоле - горячий и холодный способ. Засолка сала или вкусный рецепт засолки сала в рассоле

II . Решение упражнений с комментариями.

1 . Упростить выражение

Ответ: при ; – при .

2 . Доказать, что данное выражение – целое число.

III . Самостоятельное решение со взаимопроверкой:

Задания: 11(4); 13(2); 18(а); (Здесь и далее смотри Приложение 1).

Указание: проверить работу на текущем занятии, провести анализ работы учащихся.

Тема: Графики функций, аналитическое выражение которых содержит знак абсолютной величины.

Цель: 1 . Рассмотреть последовательность построения графиков функций, содержащих выражения под знаком абсолютной величины.

2. Развитие пространственного воображения.

3. Развитие навыков аккуратности при построении графиков.

Оборудование: мультимедийный графопроектор.

Для построения всех типов графиков, необходимо хорошо понимать определение модуля, и знать виды простейших графиков, изучаемых в школе. Построение графиков следует осуществлять двумя способами:

На основании определения модуля;

На основании правил (алгоритмов) геометрического преобразования графиков функции.

Покажем на примерах некоторые приемы построения графиков уравнений с модулями.

Пример : Построить график функции . Сначала построим
параболу (рис. 18, а).

Чтобы получить из нее график функции , нужно каждую точку параболы с отрицательной ординатой заменить точкой с той же
абсциссой, но с противоположной
(положительной) ординатой. Иными словами, часть параболы, расположенную ниже оси О х , нужно заменить линией, ей симметричной относительно оси О х (рис. 18, б).

III . Решение тренировочных упражненийупражнений.

Пример 1: Построить график функции .

Воспользуемся определением модуля числа: если , то ;

Но проще других решение на числовой прямой (рис. 14), учитывая, что расстояния равны.

Задание: Решить уравнение

5. Решение уравнений вида

Можно предложить учащимся записать следующий алгоритм.

Решают каждое из уравнений =0, =0,…, =0.

Вся координатная ось разбивается на некоторое число промежутков.

На каждом промежутке уравнение заменяется на другое уравнение, не содержащее знаков модуля и равносильное исходному уравнению на этом промежутке.

На каждом промежутке отыскиваются корни того уравнения, которое на этом промежутке получается.

Отбираются те корни, которые принадлежат данному промежутку. Они и будут корнями исходного уравнения на рассматриваемом промежутке.

Все корни уравнения получают, объединяя, все корни, найденные на всех промежутках.

Пример: Решить уравнение .

Решение: Для освобождения от знака модуля разобьем числовую прямую на три промежутка (рис.15).

Решение данного уравнения сводится к решению трех систем:

Источники:

http://raal100.narod.ru/index/0-261
http://www.calc.ru/Absolyutnaya-Velichina-Modul.html
http://infourok.ru/konspekt-uroka-absolyutnaya-velichina-2872093.html

Ссылка на основную публикацию
Статьи на тему:

Adblock
detector