Применение основных тригонометрических формул к преобразованию выражений (10-й класс). Применение тригонометрии в искусстве и архитектуре

Урок 10 класс «Применение тригонометрических формул к преобразованию выражений»
материал по алгебре (10 класс) по теме

Применение тригонометрических формул к преобразованию выражений

Скачать:

Предварительный просмотр:

Применение тригонометрических формул к преобразованию выражений

1. Повторить формулы тригонометрии и закрепить их знания в ходе выполнения упражнений;
2. Развивать навыки самоконтроля, умения работать с компьютерной презентацией.
3. Воспитание ответственного отношения к учебному труду, воли и настойчивости для достижения конечных результатов.

Оборудование: компьютерная презентация.

1. Каждый ученик должен знать формулы тригонометрии и уметь применять их для преобразования тригонометрических выражений на уровне обязательных результатов.
2. Знать вывод этих формул и уметь применять их для преобразования тригонометрических выражений.
3. Знать формулы тригонометрии, уметь выводить эти формулы и применять их для более сложных тригонометрических выражений.

1. Сообщение темы, цели, задач урока и мотивация учебной деятельности.
2. Устный счёт
3. Повторение формул тригонометрии с помощью компьютерной презентации
4. Применение тригонометрических формул к преобразованию выражений
5. Выполнение теста
6. Подведение итогов урока
7. Постановка задания на дом

I. Организационный момент.

Сообщение темы, цели, задач урока и мотивация учебной деятельности

II. Устная работа (презентация):

Ш. Работа с формулами

• Основные тригонометрические тождества.
• Формулы сложения.
• Формулы приведения
• Формулы суммы и разности синусов (косинусов).
• Формулы двойного аргумента.

IV. Применение тригонометрических формул к преобразованию выражений.

№1. Вычислите: (комментируем с места)

1) 2sin 30  – tg 45  + ctg 30  ; 2) .

№2. Преобразуйте следующие выражения: (у доски цепочкой)

1) (1 – sin 2 3  ) tg 2 3  ; 2) tg 2  – sin 2  – tg 2  sin 2  ; 3) ctg 2  (cos 2  – 1) + 1.

№3. Упростите выражение: (у доски цепочкой)

1) 2 cos 72  sin 72  ; 2) cos 2 22,5  – sin 2 22,5  ;

3) 3 sin  cos  cos 2  ; 4) cos 2 5  – sin 2 5  ;

№5. Преобразуйте произведение в сумму: 2 sin 18  sin 22 

VI. Выполнение теста

VIII. Домашнее задание : раздаются зачетные карточки (кроме 5, 7, 10)

Портал педагога

Автор: Кондрашкина Наталья Викторовна
Должность: учитель математики
Учебное заведение: МБОУ СОШ №53
Населённый пункт: город Мурманск
Наименование материала: Методическая разработка
Тема: «Применение основных тригонометрических формул к преобразованию выражений 10 класс»
Дата публикации: 30.09.2018
Раздел: среднее образование

Применение основных тригонометрических формул к преобразованию

выражений (10-й класс)

Повторить основные формулы тригонометрии и закрепить их знания в ходе

Развивать навыки самоконтроля.

Воспитание ответственного отношения к учебному труду, воли и

настойчивости для достижения конечных результатов.

Каждый ученик должен знать формулы тригонометрии и уметь применять их

для преобразования тригонометрических выражений на уровне обязательных

Знать вывод этих формул и уметь применять их для преобразования

Знать формулы тригонометрии, уметь выводить эти формулы и применять их

для более сложных тригонометрических выражений.

Основные этапы урока:

Сообщение темы, цели, задач урока.

Проверка знаний формул

Применение тригонометрических формул к преобразованию выражений

Подведение итогов урока

Постановка задания на дом

I . Вводная часть. 5 мин.

Учитель. Сегодня у нас обобщающий урок по теме: «Преобразование

тригонометрических выражений. Свойства тригонометрических функций». На уроке

вы должны показать свои знания теории поданной теме, т. е. знание определений,

формул, а также умение применять эти знания при решении задач.

II. Устная работа (задания заранее распечатаны у каждого учащегося):

1. Радианная мера двух углов треугольника равна

. Найдите градусную меру

каждого из углов треугольника. Ответ: 60 , 30 , 90

2. Найдите радианную меру углов треугольника, если их величины относятся как

3. Может ли косинус быть равным: а)

б) нет; в) нет; г) да; д) да.

4. Может ли синус быть равным: а) –3, 7 б)

? Ответ: а) нет; б) да; в) нет.

III.Проверка знаний формул. 5 мин.

Проверка знаний формул. На карточке в левом столбике написана часть формулы, а в

правом столбике вразброс вторая часть формул. Нужно соединить части так, чтобы

получилась верная формула. Далее заполните табличку ответов. Для первого

варианта вы получите зашифрованное слово – имя ученого, который в 15 веке

применял для понятия «косинус» термин «дополнительный синус», т.е. синус

дополнительной дуги. «Sinus compltmtnty».От перестановки этих слов и

сокращения одного из них и получилось слово «косинус». Для второго варианта —

имя ученого, который в 14 веке пере открыл заново для Европы понятия тангенса и

Итак, ответ для первого варианта: немецкий ученый Региомонтан, который в 1467 г.

Написал труд «Пять книг о треугольниках всех видов», явившейся полным

собранием сочинений всех известных в Европе того времени сведений по

тригонометрии. Для второго варианта ответ: английский ученый Томас Брадвардин,

который в 14веке заново пере открыл тангенс и котангенс. Это связано с тем, что

понятие тангенса возникло в связи с решением практической задачи об определении

длины тени. Впервые применил это понятие в 8-9 веке среднеазиатский астроном

и математик ал-Хабаш, который и составил таблицу тангенсов.

Давайте запишем эти фамилии в тетрадь.

Региомонтан- нем. ученый, 15 в.ввел понятие косинуса как дополнительного синуса.

Томас Брадвардин -анг. Ученый, 14 в. –пере открыл тангенс и котангенс.

Термин«синус» ввел в 4-5 вв. индийский ученый Ариабхата, оно обозначалось

словом«джива» -половина хорды. Арабские ученые перевели его как «джайб»

-выпуклость, а европейские ученые перевели на латынь как «синус» — изгиб,

IV. Проверка умений и навыков по теме. 8 мин.

Применение основных тригонометрических формул к преобразованию выражений (10-й класс). Применение тригонометрии в искусстве и архитектуре

Каждая нота в рамках новой теории представляется как логарифм частоты соответствующего звука (нота «до» первой октавы, к примеру, соответствует числу 60, октава – числу 12).

6. Применение тригонометрии в искусстве и архитектуре

С того времени как человек стал существовать на земле, основой улучшения быта и других сфер жизни стала наука. Основы всего, что создано человеком – это различные направления в естественных и математических науках. Одна из них – геометрия.

Архитектура не единственная сфера науки, в которой используются тригонометрические формулы. Большинство композиционных решений и построений рисунков проходило именно с помощью геометрии. Но теоретические данные мало что значат. Рассмотрим пример на построение одной скульптуры французского мастера Золотого века искусства.

Пропорциональное соотношение в построении статуи было идеально. Однако при поднятии статуи на высокий пьедестал, она смотрелась уродливой. Скульптором не было учтено, что в перспективе к горизонту уменьшаются многие детали и при взгляде снизу вверх уже не создается впечатления ее идеальности.

Велось множество расчетов, чтобы фигура с большой высоты смотрелась пропорционально. В основном они были основаны на методе визирования, то есть приблизительного измерения, на глаз. Однако коэффициент разности тех или иных пропорций позволили сделать фигуру более приближенной к идеалу.

Таким образом, зная примерное расстояние от статуи до точки зрения, а именно от верха статуи до глаз человека и высоту статуи, можно рассчитать синус угла падения взгляда с помощью таблицы. Культовые здания во всем мире были спроектированы благодаря математике, которая может считаться гением архитектуры. Некоторые известные примеры таких зданий:Детская школа Гауди в Барселоне, Ресторан в Лос-Манантиалесе в Аргентине, мост в Сингапуре. При проектировании этих зданий не обошлось без тригонометрии.

Заключение

В настоящее время тригонометрические вычисления применяются практически во всех областях геометрии, физики и инженерного дела. Большое значение имеет техника триангуляции, позволяющая измерять расстояния до недалёких звёзд в астрономии, между ориентирами в географии, контролировать системы навигации спутников.

Также следует отметить применение тригонометрии в таких областях, как теория музыки, акустика, оптика, анализ финансовых рынков, электроника, теория вероятностей, статистика, медицина (включая ультразвуковое исследование (УЗИ) и компьютерную томографию), фармацевтика, химия, теория чисел, сейсмология, метеорология, океанология, картография, многие разделы физики, топография и геодезия, архитектура, экономика, электронная техника, машиностроение, компьютерная графика, кристаллография.

Вывод:

· Мы выяснили, что тригонометрия была вызвана к жизни необходимостью производить измерения углов, но со временем развилась и в науку о тригонометрических функциях.

· Мы доказали, что тригонометрия тесно связана с физикой, биологией, встречается в природе, архитектуре и медицине.

· Мы думаем, что тригонометрия нашла отражение в нашей жизни, и сферы, в которых она играет важную роль, будут расширяться.

Литература

1. Алимов Ш.А. и др. «Алгебра и начала анализа» Учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений, М., Просвещение, 2010.

2. Виленкин Н.Я. Функции в природе и техники: Кн. для внеклассного чтения IX-X кл. – 2-е изд., испр.-М: Просвещение, 1985.

3. Глейзер Г.И. История математики в школе: IX-X кл. — М.: Просвещение, 1983.

4. Маслова Т.Н. «Справочник школьника по математике»

5. Рыбников К.А. История математики: Учебник. — М.: Изд-во МГУ, 1994.

Источники:

http://nsportal.ru/shkola/algebra/library/2014/04/05/urok-10-klass-primenenie-trigonometricheskikh-formul-k
http://portalpedagoga.ru/servisy/publik/publ?id=33729
http://obuchonok.ru/node/3027