Логарифмические неравенства гдз. Решение систем логарифмических и показательных неравенств с репетитором

Как подготовиться к решению задач ЕГЭ по неравенствам | 1С:Репетитор

Советы ведущего преподавателя курса 1С:Репетитор
Татьяны Александровны Чернецкой

Задание № 15 варианта КИМ ЕГЭ по математике профильного уровня

С чего начать подготовку к решению задачи 15

Прежде всего, усвойте два понятия:
равносильные неравенства — неравенства, множества решений которых совпадают;
равносильные преобразования — такие действия с неравенством, при совершении которых мы заменяем данное неравенство равносильным ему, но более простым.

Необходимо следить за равносильностью преобразований на каждом шаге решения: если преобразование оказалось не равносильным, то велика вероятность получения лишних решений или их потери. В большинстве случаев эта ошибка приведет к неправильному ответу, а уж само решение точно будет неверным.
После того, как вы разобрались с равносильностью, следует изучить основные методы решения неравенств, связанных практически со всеми функциями, изучаемыми в школьном курсе математики (за исключением, может быть, тригонометрических; хотя простейшие тригонометрические неравенства могут встретиться в задаче № 13).

Основные методы решения неравенств

1. Метод интервалов для рациональных и дробно-рациональных функций.

В качестве примера рассмотрим неравенство, которое предлагалось на экзамене в 2016 году:

4 x — 2 x + 4 + 30 2 x — 2 + 4 x — 7 ⋅ 2 x + 3 2 x — 7 ≤ 2 x + 1 — 14

После ведения новой переменной t = 2 x это неравенство приводится к дробно-рациональному, для решения которого как раз и нужен метод интервалов.

2. Метод равносильных переходов

Необходимо запомнить готовые схемы решения для некоторых типов неравенств с модулем, а хорошо бы — и для иррациональных неравенств (с корнями), это может пригодиться и при решении задачи с параметром.

Читать еще:  Объекты, предмет и субъекты контроля. Демонстрационный вариант теста в учебном году для руководителей оу, предлагаемый для прохождения аттестации на первую и высшую категории

3. Основные методы решения показательных и логарифмических неравенств:

  • Приведение к простейшему неравенству
  • Решение неравенств с переменным основанием степени или логарифма (с помощью равносильных переходов или так называемого метода рационализации)
  • Введение новых неизвестных
  • Логарифмирование
  • Обобщенный метод интервалов

Неравенства, в которых основание степени или логарифма зависит от переменной, встречаются на экзамене достаточно часто, например, такого вида (ЕГЭ 2017 года):

2 log x 2 — 6 x + 10 2 ⁡ 5 x 2 + 3 ≤ log x 2 — 6 x + 10 ⁡ 4 x 2 + 7 x + 3

Здесь для решения нужно использовать равносильный переход или рационализировать неравенство.

4. Использование свойств функций при решении неравенств

Иногда область определения или область значений входящих в неравенство выражений, их четность, симметричность либо еще какие-то свойства являются ключом к решению задачи. Такие задачи в вариантах КИМ ЕГЭ встречаются нечасто, тем не менее, ознакомиться с методами их решения полезно.
Для успеха на экзамене нужно не просто знать о существовании перечисленных выше методов. Нужно уметь их применять, не допускать досадных Для успеха на экзамене нужно не просто знать о существовании перечисленных выше методов. Нужно уметь их применять, не допускать досадных ошибок в преобразованиях и вычислениях, комбинировать методы для решения конкретной задачи, выбирать оптимальный путь решения. Время на экзамене ограничено, а задач (в том числе и весьма непростых) много. К тому же большинство методов имеет свои «подводные камни», обнаружить которые самостоятельно сложно. Гораздо эффективнее в этой ситуации воспользоваться помощью опытного преподавателя.
Регулярные и систематизированные занятия при подготовке к ЕГЭ по математике профильного уровня могут значительно повлиять на финальную экзаменационную оценку. Наша статистика показывает, что учащиеся, уделившие достаточное внимание такой подготовке, на ЕГЭ получили баллы существенно выше средних (вплоть до 100 баллов) и успешно поступили в выбранные технические вузы.

Регулярно тренируйтесь в решении задач

Чтобы начать заниматься на портале «1С:Репетитор», достаточно Зарегистрироваться.
Вы можете:

  • Начать заниматься бесплатно.
  • Получить доступ ко всей теории и тренажерам задачи №15. Это стоит всего 1490 рублей.
  • Купить доступ к этой задаче в составе экспресс-курса «Алгебра» и научиться решать задачи №13, №15, №17, №18 и №19 на максимальный балл.

Все курсы состоят из методически правильной последовательности теории и практики, необходимой для успешного решения задач. Включают теорию в форме текстов, слайдов и видео, задачи с решениями, интерактивные тренажеры, модели, и тесты.

Читать еще:  Секреты Warframe. Где добыть пластиды? "Варфрейм" и его секреты Warframe секреты

Остались вопросы? Позвоните нам по телефону 8 800 551-50-78 или напишите в онлайн-чат.

Задания по теме «Логарифмические неравенства с переменным основанием»

Открытый банк заданий по теме логарифмические неравенства с переменным основанием. Задания C3 из ЕГЭ по математике (профильный уровень)

Задание №1197

Условие

Решите неравенство frac1+6geqslant 16log_<4x>2.

Решение

ОДЗ неравенства: begin x>0, \ xneq 1, \ xneq frac14. end

Т.к. frac1= -frac1= -log_2 x, а log_ <4x>2 =frac1, то неравенство примет вид: -log_2 x+6 geqslant frac<16>. Пусть log_2 x=t, тогда frac<16>+ t-6 leqslant 0, frac<(t-2)^2>leqslant 0, t=2 или t

Ответ

left( 0;,frac14right) , 4.

Задание №1196

Условие

Решите неравенство log_x2+2log_<2x>2geqslant 2.

Решение

Заметим, что x>0, x neq frac12, x neq 1.

Используя свойства логарифмов, преобразуем неравенство:

Пусть log_2x=t, тогда получим неравенство, которое удобно решить методом интервалов:

Получим два двойных неравенства, решим их, возвращаясь к переменной x :

Ответ

left( frac12; frac1right] cup (1; 2].

Задание №1191

Условие

Решение

ОДЗ неравенства является множество всех решений системы

begin x^2+x>0,\ x^2+xneq 1; end begin x^2+x>0,\ x^2+x-1neq 0.end

Перейдём в неравенстве к логарифмам по основанию 2 .

log_2(x^2+x)cdot left( -1-frac12+frac12right) geqslant 1,

log_2(x^2+x)leqslant log_2 0,5,

Находим корни квадратного трёхчлена x^2+x-0,5:

x_<1,2>=frac<-1pmsqrt 3>2, поэтому множеством решений неравенства x^2+x-0,5 leqslant 0 будет множество left[ frac<-1-sqrt 3><2>; frac<-1+sqrt 3><2>right].

Ответ

Задание №994

Условие

Решите неравенство log_<3>(x-1) leq 4-9log_<9(x-1)>3.

Решение

ОДЗ уравнения: beginx-1>0,\9(x-1)neq1,end то есть x > 1, x neq frac<10><9>.

Неравенство примет вид log_<3>(x-1) leq 4-frac<9>(x-1)+2>. Пусть log_<3>(x-1)=t, тогда t-4+frac<9> leq 0,

Ответ

Задание №993

Условие

Решите неравенство (x^2+2x-3)log _<2x-1>(4x^2-11x+7) leq 0

Решение

ОДЗ: begin 2x-1 > 0,\ 2x-1 neq 1, \ 4x^2-11x+7 > 0; end

begin x > frac<1><2>, \ x neq 1, \ left[!!begin x frac<7><4>; endright.end x in left (frac<1><2>;1 right ) cup left ( frac<7><4>; +infty right ).

Применяя метод рационализации, получим, что на ОДЗ исходное неравенство равносильно неравенству:

(x^2+2x-3)cdot (2x-1-1)cdot (4x^2-11x+7-1) leq 0;

(x-1)cdot (x+3)cdot (2x-2)cdot (4x^2-11x+6) leq 0;

Логарифмические неравенства с переменным основанием

(blacktriangleright) Рассмотрим неравенство [geqslant log_>>] (на месте знака (geqslant) может стоять любой из знаков (leqslant, >, 1\ f(x)geqslant g(x)\ g(x)>0 end\ &begin 0 0 end end end right.>>]

Читать еще:  Праздники и знаменательные даты в марте. Календарь знаменательных и памятных дат

ОДЗ: [begin x > 0\ xneq 1 end]

На ОДЗ:
исходное неравенство равносильно неравенству

[begin dfrac<1>geqslant 1quadLeftrightarrowquad 0 0\ x^2neq 1\ x > 0\ xneq 1 end qquadLeftrightarrowqquad begin x > 0\ xneq 1 end]

На ОДЗ:
исходное неравенство равносильно неравенству

[begin &dfrac<1><2>log_ <|x|>xgeqslant 1 + 2log_x |x|qquadLeftrightarrowqquaddfrac<1><2>log_ xgeqslant 1 + 2log_x xqquadLeftrightarrowqquad dfrac<1><2>geqslant 3,. end]

Таким образом, [xinvarnothing.]

ОДЗ: [begin x^2 > 0\ x^2neq 1\ x > 0\ x^3 > 0\ x^3neq 1 end qquadLeftrightarrowqquad begin x > 0\ xneq 1 end]

На ОДЗ:
исходное неравенство равносильно неравенству

[begin &dfrac<1><2>log_ <|x|>xleqslant 5 + dfrac<2><3>log_ xqquadLeftrightarrowqquaddfrac<1><2>log_ xleqslant 5 + dfrac<2><3>qquadLeftrightarrowqquad dfrac<1><2>leqslant 5 + dfrac<2><3>,. end]

Таким образом, исходное неравенство верно на ОДЗ: [xin(0; 1)cup(1; +infty).]

ОДЗ: [begin x > 0\ xneq 1\ x^ <2016>> 0\ x^ <2016>neq 1\ x^2 > 0 end qquadLeftrightarrowqquad begin x > 0\ xneq 1 end]

На ОДЗ:
исходное неравенство равносильно неравенству

[begin &2016log_ |x|leqslant log_5 x + dfrac<2><2016>log_ <|x|>|x|qquadLeftrightarrowqquad 2016log_ xleqslant log_5 x + dfrac<1><1008>qquadLeftrightarrow\ &Leftrightarrowqquad 2016 — dfrac<1><1008>leqslant log_5 xqquadLeftrightarrowqquad log_5 5^<2015frac<1007><1008>>leqslant log_5 xqquadLeftrightarrowqquad 5^<2015frac<1007><1008>>leqslant x,. end]

Таким образом, с учётом ОДЗ исходное неравенство верно при [xin[5^<2015frac<1007><1008>>; +infty).]

ОДЗ: [begin x^2 + 2x + 2 > 0\ x^2 + 2x + 2neq 1 end qquadLeftrightarrowqquad xneq -1]

На ОДЗ:
исходное неравенство равносильно неравенству

Так как на ОДЗ (x^2 + 2x + 2 = (x + 1)^2 + 1 > 1) , то исходное неравенство равносильно неравенству

[begin 4 > x^2 + 2x + 2quadLeftrightarrowquad x^2 + 2x — 2 0\ x^2+1ne 1\ (x-3)^2>0\ dfrac<(x-3)^2><(x^2+1)^3>>0 end quadLeftrightarrowquad begin xne 0\xne 3end] Таким образом, ОДЗ неравенства: (xin (-infty;0)cup(0;3)cup(3;+infty)) .
Решим неравенство на ОДЗ. [log_<(x-3)^2>cdot (log_<(x-3)^2>-log_<(x^2+1)^3>)leqslant -2.] Сделаем замену (t=log_<(x-3)^2>) , тогда неравенство примет вид: [t(t-3)leqslant -2quadLeftrightarrowquad (t-1)(t-2)leqslant 0 quadLeftrightarrowquad 1leqslant tleqslant 2.] Сделаем обратную подстановку: [beginlog_<(x-3)^2>geqslant 1\ log_<(x-3)^2>leqslant 2end quadLeftrightarrowquad begin log_<(x-3)^2>geqslant log_<(x^2+1)>\ log_<(x-3)^2>leqslant log_ <(x^2+1)^2>end]

Заметим, что т.к. по ОДЗ (x^2>0) , то (x^2+1>1) , следовательно, основания логарифмов больше единицы, а значит, оба неравенства системы равносильны [begin (x-3)^2geqslant x^2+1\ (x-3)^2leqslant (x^2+1)^2 endquadLeftrightarrowquad begin xleqslant dfrac43\[2ex] (x-3-x^2-1)(x-3+x^2+1)leqslant 0 endquadLeftrightarrowquad begin xleqslant dfrac43\[2ex] (x^2-x+4)(x+2)(x-1)geqslant 0end]

Решая второе неравенство методом интервалов, получим (xin (-infty;-2]cup[1;+infty)) .
Следовательно, после пересечения данного решения с (xleqslant frac43) и с ОДЗ получим окончательный ответ (xin (-infty;-2]cupleft[1;frac43right]) .

Источники:

http://repetitor.1c.ru/page/advice1/
http://academyege.ru/theme/logarifmicheskie-neravenstva-s-peremennym-osnovaniem.html
http://shkolkovo.net/catalog/reshenie_neravenstv/logarifmicheskie_s_peremennym_osnovaniem

Ссылка на основную публикацию
Статьи на тему:

Adblock
detector