Площадь поверхности вращения вокруг оси oy формула. Вычисление площади поверхности вращения

Площадь поверхности вращения

Площадь боковой поверхности для цилиндра и конуса можно определить с помощью площади развертки. Однако не для любой поверхности такой способ пригоден. Например, нельзя «развернуть» на плоскость сферу.

Определим в общем случае площадь поверхности вращения и приведем формулу для ее вычисления.

Пусть дана дуга АВ кривой (рис. 274), уравнение которой у = f(х), х ( in ) [а; b],

где f(х) — неотрицательная функция, имеющая непрерывную производную.

Разобьем отрезок [а; b] точками

на n отрезков равной длины. Через точки xi проведем прямые, параллельные оси Оу, точки пересечения этих прямых с дугой АВ обозначим Mi.

Ломаная АМ1М2 . Mn-1B называется вписанной в дугу АВ.

При достаточно мелком разбиении отрезка [а; b], т. е. при достаточно большом n, площади поверхностей, образованных вращением вокруг оси Ох дуги АВ и вписанной в нее ломаной, будут мало отличаться друг от друга.

Поверхность, полученная вращением ломаной, состоит из боковых поверхностей n усеченных конусов (или цилиндров). Ее площадь мы умеем вычислять.

Предел, к которому стремится при п -> площадь поверхности, образованной вращением ломаной АМ1 . Mn-1B, вписанной в АВ, называется площадью поверхности, образованной вращением дуги АВ.

Можно доказать, что площадь поверхности, образованной вращением кривой АВ вокруг оси Ох, вычисляется по формуле

Доказательство этой формулы мы не приводим.

Задача 1. Найти площадь поверхности, полученной вращением вокруг оси Ох дуги параболы у = 2√ x 0 1 / x , то, согласно формуле (1), площадь поверхности вращения будет выражаться формулой

Ответ: S = 8π /3 ( 2√ 2 — 1) .

Если кривая АВ задана параметрическими уравнениями x = φ(t), y = ψ(t), t ( in ) [α ;β], где φ(t) и ψ(t) имеют непрерывные производные, то

Задача 2. Вычислить площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси Ох дуги циклоиды

Так как х&#146 = а (1 — cos t) и y&#146 = а sin t, то по формуле (2) получаем

Сделаем замену: ( u=cosfrac<2>, ; du=-frac<1><2>sinfrac<2>dt. ) Тогда

Как найти площадь поверхности вращения с помощью интеграла

Прежде чем перейти к формулам площади поверхности вращения, дадим краткую формулировку самой поверхности вращения. Поверхность вращения, или, что то же самое — поверхность тела вращения — пространственная фигура, образованная вращением отрезка AB кривой вокруг оси Ox (рисунок ниже).

Читать еще:  Секреты Warframe. Где добыть пластиды? "Варфрейм" и его секреты Warframe секреты

Представим себе криволинейную трапецию, ограниченную сверху упомянутым отрезком кривой. Тело, образованное вращением этой трапеции вокруг то же оси Ox, и есть тело вращения. А площадь поверхности вращения или поверхности тела вращения — это его внешняя оболочка, не считая кругов, образованных вращением вокруг оси прямых x = a и x = b .

Заметим, что тело вращения и соответственно его поверхность могут быть образованы также вращением фигуры не вокруг оси Ox, а вокруг оси Oy.

Вычисление площади поверхности вращения, заданной в прямоугольных координатах

Пусть в прямоугольных координатах на плоскости уравнением y = f(x) задана кривая, вращением которой вокруг координатной оси образовано тело вращения.

Формула для вычисления площади поверхности вращения следующая:

(1).

Пример 1. Найти площадь поверхности параболоида, образованную вращением вокруг оси Ox дуги параболы , соответствующей изменению x от x = 0 до x = a .

Решение. Выразим явно функцию, которая задаёт дугу параболы:

Найдём производную этой функции:

Прежде чем воспользоваться формулу для нахождения площади поверхности вращения, напишем ту часть её подынтегрального выражения, которая представляет собой корень и подставим туда найденную только что производную:

Далее по формуле (1) находим:

Ответ: длина дуги кривой равна

.

Пример 2. Найти площадь поверхности, образуемой вращением вокруг оси Ox астроиды .

Решение. Достаточно вычислить площадь поверхности, получающейся от вращения одной ветви астроиды, расположенной в первой четверти, и умножить её на 2. Из уравнения астроиды выразим явно функцию, которую нам нужно будет подставить в формулу для нахождения площади повержности вращения:

.

Производим интегрирование от 0 до a:

Ответ: площадь поверхности вращения равна .

Вычисление площади поверхности вращения, заданной параметрически

Рассмотрим случай, когда кривая, образующая поверхность вращения, задана параметрическими уравнениями

Тогда площадь поверхности вращения вычисляется по формуле

(2).

Пример 3. Найти площадь поверхности вращения, образованной вращением вокруг оси Oy фигуры, ограниченной циклоидой и прямой y = a . Циклоида задана параметрическими уравнениями

Решение. Найдём точки пересечения циклоиды и прямой. Приравнивая уравнение циклоиды и уравнение прямой y = a , найдём

Из этого следует, что границы интегрирования соответствуют

Теперь можем применить формулу (2). Найдём производные:

Запишем подкоренное выражение в формуле, подставляя найденные производные:

Найдём корень из этого выражения:

Читать еще:  Как делать куклу из носка своими руками. Как сделать куклы из носков своими руками — мастер класс. Делаем тельце куклы

.

Подставим найденное в формулу (2):

.

И, наконец, находим

В преобразовании выражений были использованы тригонометрические формулы

Ответ: площадь поверхности вращения равна .

Вычисление площади поверхности вращения, заданной в полярных координатах

Пусть кривая, вращением которой образована поверхность, задана в полярных координатах:

Площадь поверхности вращения вычисляется по формуле:

(3).

Пример 4. Найти площадь поверхности, образованной вращением лемнискаты вокруг полярной оси.

Решение. Действительные значения для ρ получаются при , то есть при (правая ветвь лемнискаты) или при (левая ветвь лемнискаты).

Решение. Дифференциал корня из формулы площади поверхности вращения равен:

В свою очередь произведение функции, которой задана лемниската, на синус угла равно

.

Поэтому площадь поверхности вращения найдём следующим образом:

.

Площадь поверхности вращения тела

Пусть даны прямая и кривая , лежащая в одной плоскости с и расположенная по одну сторону от этой прямой. При вращении кривой вокруг оси получается поверхность , площадь которой мы и хотим сначала определить, а потом вычислить (см. 46).

Начнем со случая, когда — отрезок, один конец которого отстоит от на , а другой — на (рис. 58). Тогда, как доказывается в школьном курсе геометрии, площадь поверхности вращения (боковой поверхности усеченного конуса) выражается формулой . В этом случае при имеем:

Таким образом, боковая поверхность конуса заключена между произведением длины образующей на длину наименьшей окружности и произведением длины образующей на длину наибольшей окружности.

То же самое неравенство будет иметь место и при вращении любой ломаной линии, расположенной по одну сторону от оси вращения:

где и — наименьшее и наибольшее расстояния точек ломаной от оси , и — длина ломаной.

Для доказательства достаточно применить неравенство (1) к каждому звену ломаной, сложить полученные результаты и учесть что и для любого звена имеем и (здесь и — наименьшее и наибольшее расстояния точек k-ro звена от оси вращения).

Естественно потребовать, чтобы неравенства (2) выполнялись для любой спрямляемой кривой. Кроме того, потребуем, чтобы площадь поверхности вращения обладала свойством аддитивности: при разбиении дуги на части должно выполняться равенство

где — поверхность, полученная при вращении всей дуги , а — при вращении части .

Если применить к каждой части неравенства (2), то получим, что

где — длина дуги , а и — наименьшее и наибольшее расстояния точек этой дуги от оси вращения. Складывая эти неравенства и учитывая требование аддитивности, получаем, что

Читать еще:  Среда разработки и причины ее выбора. Обучение сети - обратное распространение

Иными словами, площадь поверхности вращения должна разделять множества

Именно это требование мы и примем за определение площади поверхности вращения.

Если — плоская спрямляемая кривая, лежащая по одну сторону от оси , то площадью поверхности , получаемой при вращении этой кривой вокруг оси , называется число , разделяющее множества

соответствующие всевозможным разбиениям дуги . Здесь и имеют указанный выше смысл.

Докажем сейчас, что это число существует и единственно, а затем выведем для него выражение в виде интеграла. Выберем на плоскости систему координат, такую, что ось абсцисс совпадает с осью вращения. Зададим параметризацию кривой , выбрав в качестве параметра длину дуги , соединяющей в заданном направлении фиксированную точку кривой с произвольной точкой этой кривой (рис. 59). Тогда и будут наименьшими и наибольшими значениями ординаты для точек части .

Поэтому суммы, стоящие в неравенствах (4) слева и справа, являются не чем иным, как суммами Дарбу для интеграла , где через обозначена длина всей кривой . Поскольку функция непрерывна в силу непрерывности кривой , то существование и единственность числа, разделяющего эти суммы Дарбу, вытекают из теоремы существования интеграла от непрерывной функции. При этом мы доказали, что площадь поверхности вращения, т. е. число , разделяющее эти суммы, равняется интегралу:

Из формулы (5) получаются различные частные случаи в зависимости от того, как задана кривая . Если она задана параметрически:

и формула (5) принимает вид:

(когда меняется от до , переменная меняется от до ).

В частности, если кривая задана явным уравнением , то

Если кривая задана в полярных координатах уравнением , где , а функция имеет непрерывную производную на , то, учитывая, что , a , получим:

Пример 1. Найдем площадь поверхности шара радиуса .

Решение. Поместим начало координат в центр шара. Будем рассматривать поверхность шара как поверхность, полученную в результате вращения полуокружности вокруг оси . Тогда площадь поверхности шара найдется по формуле

Так как — функция четная, то

Найдя и вычислив сумму , получим:

Пример 2. Вычислить площадь поверхности, образованной вращением одной арки циклоиды вокруг

Решение. Найдем . Тогда

Искомая площадь поверхности вращения равна

Пример 3. Найдем площадь поверхности, образованной вращением лемнискаты вокруг полярной оси.

Решение. Имеем: . Поэтому

Пользуясь формулой (8) для вычисления площади поверхности в полярных координатах, найдем сначала половину искомой площади поверхности:

Вся площадь данной поверхности будет равна .

Источники:

http://razdupli.ru/teor/90_plocshad-poverhnosti-vracsheniya.php
http://function-x.ru/integral503.html
http://mathhelpplanet.com/static.php?p=ploshchad-poverkhnosti-vrashcheniya-tela

Ссылка на основную публикацию
Статьи на тему:

Adblock
detector