Как высчитать длину стороны треугольника. Находим сторону треугольника, если две другие известны тремя способами, формулы

Находим сторону треугольника, если две другие известны тремя способами, формулы

В геометрии часто бывают задачи, связанные со сторонами треугольников. Например, часто необходимо найти сторону треугольника, если две другие известны.

Треугольники бывают равнобедренными, равносторонними и неравносторонними. Из всего разнообразия, для первого примера выберем прямоугольный (в таком треугольнике один из углов равен 90°, прилегающие к нему стороны называются катетами, а третья — гипотенузой).

Быстрая навигация по статье

Длина сторон прямоугольного треугольника

Решение задачи следует из теоремы великого математика Пифагора. В ней говорится, что сумма квадратов катетов прямоугольного треугольника равна квадрату его гипотенузы: a²+b²=c²

  • Находим квадрат длины катета a;
  • Находим квадрат катета b;
  • Складываем их между собой;
  • Из полученного результата извлекаем корень второй степени.
  • a²=4²=16;
  • b² =3²=9;
  • 16+9=25;
  • √25=5. То есть, длина гипотенузы данного треугольника равна 5.

Если же у треугольника нет прямого угла, то длин двух сторон недостаточно. Для этого необходим третий параметр: это может быть угол, высота площадь треугольника, радиус вписанной в него окружности и т.д..

Если известен периметр

В этом случае задача ещё проще. Периметр (P) представляет собой сумму всех сторон треугольника: P=a+b+c. Таким образом, решив простое математическое уравнение получаем результат.

Пример: P=18, a=7, b=6, c=?

1) Решаем уравнение, перенося все известные параметры в одну сторону от знака равенства:

2) Подставляем вместо них значения и вычисляем третью сторону:

c=18-7-6=5, итого: третья сторона треугольника равна 5.

Если известен угол

Для вычисления третьей стороны треугольника по углу и двум другим сторонам, решение сводится к вычислению тригонометрического уравнения. Зная взаимосвязь сторон треугольника и синуса угла, несложно вычислить третью сторону. Для этого нужно возвести обе стороны в квадрат и сложить их результаты вместе. Затем вычесть из получившегося произведение сторон, умноженное на косинус угла: C=√(a²+b²-a*b*cosα)

Читать еще:  Дамир: значение и происхождение имени для мальчика, характер и судьба. Значение имени дамир, происхождение, характер и судьба имени дамир

Если известна площадь

В этом случае одной формулой не обойтись.

1) Сначала вычисляем sin γ, выразив его из формулы площади треугольника:

2) По следующей формуле вычисляем косинус того же угла:

3) И снова воспользуемся теоремой синусов:

Подставив в это уравнение значения переменных, получим ответ задачи.

Поделитесь этой статьёй с друзьями в соц. сетях:

Сайт не хранит личную информацию граждан Российской Федерации (регистрация закрыта, комментарии отключены). Некоторые опубликованные на сайте материалы могут содержать информацию, предназначеную для пользователей старше 16 лет (согласно №436-ФЗ от 29.12.2010 года «О защите детей от информации причиняющей вред их здоровью и развитию»). 16+. Использование данного сайта подразумевает принятие условий пользовательского соглашения.

© Google Inc., 2016. Все права защищены. Наименование Google и логотип Google являются товарными знаками компании Google Inc.

GoogleTM, Android™, Google Maps™, Google Play™, Google Docs™, Google Picasa™, Gmail™, Google Chrome™, Google Plus™, YouTube™ и соответствующие логотипы являются товарными знаками Google, Inc. в США и других странах.

Microsoft®, Windows®, Windows XP®, Windows Vista®, Xbox®, Zune®, SharePoint®, Internet Explorer®, Hotmail®, Bing®, Office®, Word®, PowerPoint®, Excel®, Outlook® и их логотипы являются товарными знаками Microsoft Corporation в США и других странах.

Mozilla®, Mozilla Firefox® и их логотипы являются товарными знаками Mozilla Foundation в США и других странах.

Skype® и соответствующий логотип являются товарными знаками Skype в США и других странах.

Находим сторону треугольника, если две другие известны тремя способами, формулы

Например, часто необходимо найти сторону треугольника, если две другие известны. Треугольники бывают равнобедренными, равносторонними и неравносторонними.

Он-лайн расчет треугольника

Бот, по заданным трем параметрам, выведет все рассчитанные значения в одной таблице. Угол между ними 55 градусов. Определить все возможные параметры треугольника. Как Вы обозначите стороны на своем рисунке неважно.

Он-лайн калькулятор плоских треугольников. Далее справа, в зависимости от метода расчета, введите длины сторон и величину углов. После следует нажать на кнопку «Рассчитать».

Ее суть заключается в том, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. В евклидовой геометрии данное соотношение является ключевым. Теорема косинусов.

Читать еще:  Что нельзя носить вместе с нательным крестом. Можно ли носить православному верующему с крестиком кулон

Площадь фигуры можно найти как по формуле Герона, так и по утверждению, что она равна половине произведению катетов. При угле, который равен 30о, следует помнить, что противолежащий катет будет равен 1/2 самой большой стороны.

Все углы в треугольнике, зная стороны, можно найти через теорему косинусов.

По длине двух сторон и по значению угла между ними

Используем указанную ранее формулу и получаем: Z в квадрате =4+16-2*2*4*cos60=20-8=12. Длина неизвестной стороны составляет 3,46 сантиметра.

Причина в том, что значение синуса угла при вершине треугольника не определяет однозначно самого угла. Например, три стороны однозначно определяют треугольник с точностью до отражения. Пусть для определённости известны длины сторон a,b и угол γ между ними. Этот вариант задачи всегда имеет единственное решение. Прямоугольный сферический треугольник полностью определяется двумя элементами, остальные три находятся при помощи мнемонического правила Непера или из нижеприведенных соотношений. По сообщению Паппа, Менелай первым ввёл понятие сферического треугольника как фигуры, образованной отрезками больших кругов.

В этом случае задача ещё проще. Периметр (P) представляет собой сумму всех сторон треугольника: P=a+b+c.

Для вычисления третьей стороны треугольника по углу и двум другим сторонам, решение сводится к вычислению тригонометрического уравнения.

Признаки равенства фигур

Ранее мы рассмотрели идеальный вариант, когда нужно определить длину гипотенузы. Если же в задаче неизвестна длина одного из катетов, то, опираясь на указанную теорему, можно вывести производную формулу. Путем простых математических операций получаем Z в квадрате = 4 + 9 = 13. Значит, Z примерно равен 3,6 сантиметрам. Если же исключить возведение значений в квадрат, то получится, что Z=2+3=5 сантиметров, что не соответствует истине.

Эта формула следует из определения периметра, который является длиной ломаной линии, ограничивающей площадь фигуры. Известная площадь треугольника (S) потребует использования трех формул. Они выражают зависимость сторон этих фигур от острых углов и гипотенузы. Первоначально формула ее нахождения была выведена из соотношений длин сторон в прямоугольном треугольнике. Замкнутая геометрическая фигура из трех углов ненулевой величины называется треугольником.

В повседневной жизни встречается масса предметов, имеющих форму треугольника.

Следует помнить, что при угле большем девяносто градусов, косинус угла принимает отрицательное значение. Этот нюанс нельзя оставлять без внимания, иначе полученный ответ будет неверным. A х b)/ sinB, где А и В — углы с известными числовыми значениями, а b — сторона, также имеющая в задании. При выполнении задания, следует быть очень внимательным, ведь в условии задачи может быть указан равнобедренный треугольник или равносторонний, что намного облегчит решение.

Читать еще:  Сочинение на тему «Нужны ли в жизни сочувствие и сострадание? Нужны ли в жизни сочувствия и сострадания.

Мало кто не знаком с фразой «Пифагоровы штаны во все стороны равны». Среди математиков треугольник со сторонами 3, 4, 5 (см, м и т. д.) называется «египетским».

В разделе Домашние задания на вопрос как зная 2 стороны треугольника найти третью? Ответ от Temnblu AngelЕсли был бы известен угол между ними, то можно было бы воспользоваться теоремой косинусов. Ответ от Аванез КирпикинОтложи отрезок длиной 16, из его конца проведи окружность с радиусом 20, а из начала с радиусом 16, в точке пересечения окружностей вершина треугольника.

Все формулы для треугольника

1. Как найти неизвестную сторону треугольника

Вычислить длину стороны треугольника: по стороне и двум углам или по двум сторонам и углу.

a , b , c — стороны произвольного треугольника

α , β , γ — противоположные углы

Формула длины через две стороны и угол (по теореме косинусов), ( a ):

* Внимательно , при подстановке в формулу, для тупого угла ( α >90), cos α принимает отрицательное значение

Формула длины через сторону и два угла (по теореме синусов), ( a):

2. Как узнать сторону прямоугольного треугольника

Есть следующие формулы для определения катета или гипотенузы

a , b — катеты

c — гипотенуза

α , β — острые углы

Формулы для катета, ( a ):

Формулы для катета, ( b ):

Формулы для гипотенузы, ( c ):

Формулы сторон по теореме Пифагора, ( a , b ):

3. Формулы сторон равнобедренного треугольника

Вычислить длину неизвестной стороны через любые стороны и углы

b — сторона (основание)

a — равные стороны

α — углы при основании

β — угол образованный равными сторонами

Формулы длины стороны (основания), (b ):

Формулы длины равных сторон , (a):

4. Найти длину высоты треугольника

Высота— перпендикуляр выходящий из любой вершины треугольника, к противоположной стороне (или ее продолжению, для треугольника с тупым углом).

Высоты треугольника пересекаются в одной точке, которая называется — ортоцентр.

H — высота треугольника

a — сторона, основание

b, c — стороны

β , γ — углы при основании

p — полупериметр, p=(a+b+c)/2

R — радиус описанной окружности

S — площадь треугольника

Формула длины высоты через стороны, ( H ):

Формула длины высоты через сторону и угол, ( H ):

Формула длины высоты через сторону и площадь, ( H ):

Формула длины высоты через стороны и радиус, ( H ):

Источники:

http://podskajem.com/kak-najjti-storonu-treugolnika-esli-dve-drugie-izvestny/
http://estortenok.ru/nakhodim-storonu-treugolnika-esli-dv/
http://www-formula.ru/2011-10-09-11-08-41

Ссылка на основную публикацию
Статьи на тему:

Adblock
detector