Объем усеченной трапеции формула онлайн. Формулы объема пирамиды полной и усеченной

Геометрические фигуры. Усеченная пирамида.

Усеченной пирамидой является многогранник, заключенный меж основанием пирамиды и секущей плоскостью, которая параллельна ее основанию.

Или другими словами: усеченная пирамида — это такой многогранник, который образован пирамидой и ее сечением, параллельным основанию.

Сечение, которое параллельно основанию пирамиды делит пирамиду на 2 части. Часть пирамиды меж ее основанием и сечением — это усеченная пирамида.

Это сечение для усеченной пирамиды оказывается 1-ним из оснований этой пирамиды.

Расстояние меж основаниями усеченной пирамиды является высотой усеченной пирамиды.

Усеченная пирамида будет правильной, когда пирамида, из которой она была получена, тоже была правильной.

Высота трапеции боковой грани правильной усеченной пирамиды является апофемой правильной усеченной пирамиды.

Свойства усеченной пирамиды.

1. Каждая боковая грань правильной усеченной пирамиды является равнобокими трапециями одной величины.

2. Основания усеченной пирамиды являются подобными многоугольниками.

3. Боковые ребра правильной усеченной пирамиды имеют равную величину и один наклонен по отношению к основанию пирамиды.

4. Боковые грани усеченной пирамиды являются трапециями.

5. Двугранные углы при боковых ребрах правильной усеченной пирамиды имеют равную величину.

Формулы для усеченной пирамиды.

Для произвольной пирамиды:

Объем усеченной пирамиды равен 1/3 произведения высоты h (OS) на сумму площадей верхнего основания S1 (abcde), нижнего основания усеченной пирамиды S2 (ABCDE) и средней пропорциональной между ними.

h — высота усеченной пирамиды.

Площадь боковой поверхности равняется сумме площадей боковых граней усеченной пирамиды.

Для правильной усеченной пирамиды:

Правильная усеченная пирамида — многогранник, который образован правильной пирамидой и ее сечением, которое параллельно основанию.

Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды равна ½ произведения суммы периметров ее оснований и апофемы.

Читать еще:  Какие учреждения входят в систему образования. Как устроена система образования россии

φ — двугранный угол у основания пирамиды.

CH является высотой усеченной пирамиды, P1 и P2 — периметрами оснований, S1 и S2 — площадями оснований, Sбок — площадью боковой поверхности, Sполн — площадью полной поверхности:

Сечение пирамиды плоскостью, параллельной основанию.

Сечение пирамиды плоскостью, которое параллельно ее основанию (перпендикулярной высоте) разделяет высоту и боковые ребра пирамиды на пропорциональные отрезки.

Сечение пирамиды плоскостью, которое параллельно ее основанию (перпендикулярной высоте) – это многоугольник, который подобен основанию пирамиды, при этом коэффициент подобия этих многоугольников соответствует отношению их расстояний от вершины пирамиды.

Площади сечений, которые параллельны основанию пирамиды, относятся как квадраты их расстояний от вершины пирамиды.

Усеченные пирамиды. Теорема Эйлера. Формулы для объема, площади боковой поверхности и площади полной поверхности усеченной пирамиды

Усеченные пирамиды

Расстояние между плоскостями Расстояние между плоскостями оснований усеченной пирамиды называют высотой усеченной пирамиды.

Множество всех боковых граней усеченной пирамиды составляет боковую поверхность усеченной пирамиды.

Полная поверхность усеченной пирамиды состоит из оснований усеченной пирамиды и ее боковой поверхности.

Теорема Эйлера. Для любой усеченной пирамиды справедливо равенство:

Доказательство. Заметим, что у n — угольной усеченной пирамиды 2n вершин, n боковых граней, 2 основания, 2n ребер оснований и n боковых ребер. Следовательно, у n — угольной усеченной пирамиды (n + 2) грани и 3n ребер.

то теорема Эйлера доказана.

Правильные усеченные пирамиды

Определение 2. Высоту боковой грани правильной усеченной пирамиды называют апофемой правильной усеченной пирамиды (рис 4).

Свойства правильной усеченной пирамиды:

Все боковые ребра правильной усеченной пирамиды равны.

Все боковые грани правильной усеченной пирамиды являются равными равнобедренными трапециями.

У любой правильной усеченной пирамиды все апофемы равны.

Все боковые ребра правильной усеченной пирамиды образуют с плоскостью нижнего основания усеченной пирамиды равные углы.

Все боковые ребра правильной усеченной пирамиды образуют с плоскостью верхнего основания усеченной пирамиды равные углы.

Все боковые грани правильной усеченной пирамиды образуют с плоскостью нижнего основания усеченной пирамиды равные двугранные углы.

Все боковые грани правильной усеченной пирамиды образуют с плоскостью верхнего основания усеченной пирамиды равные двугранные углы.

Отрезок, соединяющий центры верхнего и нижнего оснований правильной усеченной пирамиды, перпендикулярен плоскостям оснований правильной усеченной пирамиды. Длина этого отрезка равна высоте правильной усеченной пирамиды.

Формулы объема пирамиды полной и усеченной. Объем пирамиды Хеопса

Умение вычислять объем пространственных фигур является важным при решение ряда практических задач по геометрии. Одной из распространенных фигур является пирамида. В данной статье рассмотрим формулы объема пирамиды как полной, так и усеченной.

Читать еще:  Виды трудовых договоров по срокам. Какие бывают трудовые договора с работниками: классификация и основные моменты

Пирамида как объемная фигура

Каждый знает о египетских пирамидах, поэтому хорошо представляет, о какой фигуре пойдет речь. Тем не менее египетские каменные сооружения являются лишь частным случаем огромного класса пирамид.

Рассматриваемый геометрический объект в общем случае представляет собой многоугольное основание, каждая вершина которого соединена с некоторой точкой в пространстве, не принадлежащей плоскости основания. Данное определение приводит к фигуре, состоящей из одного n-угольника и n треугольников.

Вам будет интересно: Формулы объема пирамиды полной и усеченной. Объем пирамиды Хеопса

Любая пирамида состоит из n+1 граней, 2*n ребер и n+1 вершины. Поскольку рассматриваемая фигура является совершенным полиэдром, то числа отмеченных элементов подчиняются равенству Эйлера:

Многоугольник, находящийся в основании, дает название пирамиды, например, треугольная, пятиугольная и так далее. Набор пирамид с разными основаниями приведен на фото ниже.

Точка, в которой n треугольников фигуры соединяются, называется вершиной пирамиды. Если из нее опустить на основание перпендикуляр и он пересечет его в геометрическом центре, тогда такая фигура будет называться прямой. Если это условие не выполняется, то имеет место наклонная пирамида.

Прямая фигура, основание которой образовано равносторонним (равноугольным) n-угольником, называется правильной.

Формула объема пирамиды

Для вычисления объема пирамиды воспользуемся интегральным исчислением. Для этого разобьем фигуру параллельными основанию секущими плоскостями на бесконечное число тонких слоев. Рисунок ниже показывает четырехугольную пирамиду высотой h и длиной стороны L, в которой четырехугольником отмечен тонкий слой сечения.

Площадь каждого такого слоя можно вычислить по формуле:

Здесь A0 — площадь основания, z — значение вертикальной координаты. Видно, что если z = 0, то формула дает значение A0.

Чтобы получить формулу объема пирамиды, следует вычислить интеграл по всей высоте фигуры, то есть:

Подставляя зависимость A(z) и вычисляя первообразную, приходим к выражению:

V = -A0*(h-z)3/(3*h2)|h0 = 1/3*A0*h.

Мы получили формулу объема пирамиды. Чтобы найти величину V, достаточно умножить высоту фигуры на площадь основания, а затем результат поделить на три.

Заметим, что полученное выражение справедливо для вычисления объема пирамиды произвольного типа. То есть она может быть наклонной, а ее основание представлять собой произвольный n-угольник.

Читать еще:  Болгария отдых с детьми где лучше албена. Из каких отелей в Албене открываются красивые виды? Лучшие цены на туры в Болгарию для всей семьи

Правильная пирамида и ее объем

Полученную в пункте выше общую формулу для объема можно уточнить в случае пирамиды с правильным основанием. Площадь такого основания вычисляется по следующей формуле:

Здесь L является длиной стороны правильного многоугольника с n вершинами. Символ pi — это число пи.

Подставляя выражение для A0 в общую формулу, получаем объем правильной пирамиды:

Vn = 1/3*n/4*L2*h*ctg(pi/n) = n/12*L2*h*ctg(pi/n).

Например, для треугольной пирамиды эта формула приводит к следующему выражению:

V3 = 3/12*L2*h*ctg(60o) = √3/12*L2*h.

Для правильной четырехугольной пирамиды формула объема приобретает вид:

V4 = 4/12*L2*h*ctg(45o) = 1/3*L2*h.

Определение объемов правильных пирамид требует знания стороны их основания и высоты фигуры.

Пирамида усеченная

Предположим, что мы взяли произвольную пирамиду и отсекли у нее часть боковой поверхности, содержащей вершину. Оставшаяся фигура называется усеченной пирамидой. Она состоит уже из двух n-угольных оснований и n трапеций, которые их соединяют. Если секущая плоскость была параллельна основанию фигуры, тогда образуется усеченная пирамида с параллельными подобными основаниями. То есть длины сторон одного из них можно получить, умножая длины другого на некоторый коэффициент k.

Рисунок выше демонстрирует усеченную правильную шестиугольную пирамиду. Видно, что верхнее основание ее так же, как и нижнее, образовано правильным шестиугольником.

Формула объема усеченной пирамиды, которую можно вывести, используя подобное приведенному интегральное исчисление, имеет вид:

V = 1/3*h*(A0 + A1 + √(A0*A1)).

Где A0 и A1 — площади нижнего (большого) и верхнего (маленького) оснований соответственно. Переменной h обозначается высота усеченной пирамиды.

Объем пирамиды Хеопса

Любопытно решить задачу на определение объема, который заключает внутри себя самая большая египетская пирамида.

В 1984 году британские египтологи Марк Легнер (Mark Lehner) и Джон Гудман (Jon Goodman) установили точные размеры пирамиды Хеопса. Ее первоначальная высота равнялась 146,50 метра (в настоящее время около 137 метров). Средняя длина каждой из четырех сторон сооружения составила 230,363 метра. Основание пирамиды с высокой точностью является квадратным.

Воспользуемся приведенными цифрами для определения объема этого каменного гиганта. Поскольку пирамида является правильной четырехугольной, тогда для нее справедлива формула:

Подставляем цифры, получаем:

V4 = 1/3*(230,363)2*146,5 ≈ 2591444 м3.

Объем пирамиды Хеопса равен практически 2,6 млн м3. Для сравнения отметим, что олимпийский бассейн имеет объем 2,5 тыс. м3. То есть для заполнения всей пирамиды Хеопса понадобится больше 1000 таких бассейнов!

Источники:

http://www.calc.ru/Geometricheskiye-Figury-Usechennaya-Piramida.html
http://www.resolventa.ru/uslugi/uslugischoolalek.htm
http://1ku.ru/obrazovanie/41279-formuly-obema-piramidy-polnoj-i-usechennoj-obem-piramidy-heopsa-2/

Ссылка на основную публикацию
Статьи на тему:

Adblock
detector