Числовые ряды основные понятия сходимость ряда. Числовые ряды: определения, свойства, признаки сходимости, примеры, решения

Необходимый признак сходимости числового ряда. Первая часть.

Перед началом работы с этой темой советую посмотреть раздел с терминологией для числовых рядов. Особенно стоит обратить внимание на понятие общего члена ряда. Если у вас есть сомнения в правильности выбора признака сходимости, советую глянуть тему «Выбор признака сходимости числовых рядов».

Необходимый признак сходимости числовых рядов имеет простую формулировку: общий член сходящегося ряда стремится к нулю. Можно записать этот признак и более формально:

Часто в литературе вместо словосочетания «необходимый признак сходимости» пишут «необходимое условие сходимости». Однако перейдём к сути: что означает данный признак? А означает он следующее: если $lim_u_n=0$, то ряд может сходиться. Если же $lim_u_nneq 0$ (или же предела попросту не существует), то ряд $sumlimits_^u_n$ расходится.

Стоит обратить внимание, что равенство $lim_u_n=0$ вовсе не означает сходимости ряда. Ряд может как сходиться, так и расходиться. А вот если $lim_u_nneq 0$, то ряд гарантированно расходится. Если эти нюансы требуют детальных пояснений, то прошу раскрыть примечание.

Что означает словосочетание «необходимое условие»? показатьскрыть

Поясним понятие необходимого условия на примере. Для покупки ручки студенту необходимо иметь 10 рублей. Это можно записать так: если студент покупает ручку, то у него есть 10 рублей. Наличие десяти рублей – это и есть необходимое условие покупки ручки.

Пусть это условие выполнено, т.е. десятка у студента есть. Значит ли это, что он купит ручку? Вовсе нет. Он может купить ручку, а может приберечь деньги на потом. Или купить что-либо иное. Или подарить их кому-то, – вариантов масса 🙂 Иными словами, выполнение необходимого условия покупки ручки (т.е. наличие денег) вовсе не гарантирует покупку этой ручки.

Точно так же и необходимое условие сходимости числового ряда $lim_u_n=0$ вовсе не гарантирует сходимость этого самого ряда. Простая аналогия: если есть деньги, студент может купить ручку, а может и не купить. Если $lim_u_n=0$, ряд может как сходиться, так и расходиться.

Однако что произойдет, если необходимое условие покупки ручки не выполнено, т.е. денег нет? Тогда студент ручку точно не купит. То же самое и с рядами: если необходимое условие сходимости не выполнено, т.е. $lim_u_nneq 0$, то ряд точно будет расходиться.

Говоря кратко: если необходимое условие выполнено, то следствие может как произойти, так и не произойти. Однако если необходимое условие не выполнено, то следствие точно не произойдёт.

Для наглядности приведу пример двух рядов: $sumlimits_^frac<1>$ и $sumlimits_^frac<1>$. Общий член первого ряда $u_n=frac<1>$ и общий член второго ряда $v_n=frac<1>$ стремятся к нулю, т.е.

Однако гармонический ряд $sumlimits_^frac<1>$ расходится, а ряд $sumlimits_^frac<1>$ сходится. Выполнение необходимого условия сходимости вовсе не гарантирует сходимости ряда.

Исходя из необходимого условия сходимости ряда можно сформулировать достаточный признак расходимости числового ряда:

Чаще всего в стандартных примерах необходимый признак сходимости проверяется, если общий член ряда представлен дробью, числитель и знаменатель которой есть некие многочлены. Например, $u_n=frac<3n^2+2n-1><5n^2+7>$ (см. пример №1). Или же могут присутствовать корни от многочленов (см. пример №2). Бывают примеры, которые несколько выбиваются из данной схемы, но для стандартных контрольных работ это редкость (см. примеры во второй части этой темы). Подчеркну главное: с помощью необходимого признака нельзя доказать сходимость ряда. Этот признак используют, когда нужно доказать, что ряд расходится.

Так как нижний предел суммирования равен 1, то общий член ряда записан под знаком суммы: $u_n=frac<3n^2+2n-1><5n^2+7>$. Найдём предел общего члена ряда:

Если метод решения данного предела вызывает вопросы, то советую обратиться к теме «Предел отношения двух многочленов». Так как предел общего члена ряда не равен нулю, т.е. $lim_u_n=frac<3><5>neq 0$, то необходимый признак сходимости не выполнен. Следовательно, ряд расходится.

Решение окончено, однако, полагаю, у читателя возникнет вполне резоннный вопрос: а как мы вообще увидели, что нужно проверить выполнение необходимого условия сходимости? Существует немало признаков сходимости числовых рядов, так почему же взяли именно этот? Данный вопрос совсем не праздный. Но так как ответ на него, возможно, будет интересен не всем читателям, то я скрыл его под примечание.

Почему мы начали применять именно необходимый признак сходимости? показатьскрыть

Если говорить нестрого, то вопрос сходимости этого ряда решается ещё до формального исследования. Я не буду касаться такой темы как порядок роста, просто приведу некие общие рассуждения. Давайте посмотрим на общий член ряда $u_n=frac<3n^2+2n-1><5n^2+7>$ повнимательнее. Сначала обратимся к числителю. Число (-1), расположенное в числителе, можно отбросить сразу: если $ntoinfty$, то данное число будет пренебрежимо малым по сравнению с остальными слагаемыми.

Посмотрим на степени $n^2$ и $n$, имеющиеся в числителе. Вопрос: какой элемент ($n^2$ или $n$) будет расти быстрее прочих?

Ответ здесь прост: наиболее быстро будет увеличивать свои значения именно $n^2$. Например, когда $n=100$, то $n^2=10;000$. И этот разрыв между $n$ и $n^2$ будет всё больше и больше. Поэтому все слагаемые, кроме тех, что содержат $n^2$, мы мысленно отбросим. После такого «отбрасывания» в числителе останется $3n^2$. А после проведения подобной процедуры для знаменателя, там останется $5n^2$. И дробь $frac<3n^2+2n-1><5n^2+7>$ теперь станет такой: $frac<3n^2><5n^2>=frac<3><5>$. Т.е. на бесконечности общий член явно не будет стремиться к нулю. Осталось лишь показать это формально, что и было сделано выше.

Частенько в записи общего члена ряда используют такие элементы, как, например, $sinalpha$ или $arctgalpha$ и тому подобное. Нужно просто помнить, что значения подобных величин не могут выходить за некие числовые границы. Например, каким бы ни было значение $alpha$, значение $sinalpha$ останется в пределах $-1≤sinalpha≤ 1$. Т.е., к примеру, мы можем записать, что $-1≤sin(n!e^n)≤ 1$. А теперь представьте, что в записи общего члена ряда расположено выражение вроде $5n+sin(n!e^n)$. Сыграет ли синус, который может «колебаться» лишь от -1 до 1, хоть какую-либо значимую роль? Ведь значения $n$ устремляются в бесконечность, а синус не сможет превысить даже единицу! Поэтому при предварительном рассмотрении выражения $5n+sin(n!e^n)$ синус можно просто отбросить.

Или, для примера, возьмём арктангенс. Каким бы ни было значение аргумента $alpha$, значения $arctgalpha$ будут удовлетворять неравенству $-frac<2><2>$. Т.е., например, в выражении вроде $7n^3+sqrt<9n+100>-6arctg(5^n+587n^<258>)$ можно сразу отбросить арктангенс. Да и $sqrt<9n+100>$ тоже, оставив при этом лишь $7n^3$.

Чтобы определить, какие элементы можно «отбрасывать», а какие нет, нужен небольшой навык. Чаще всего вопрос сходимости ряда можно решить ещё до формального исследования. А формальное исследование в стандартных примерах служит лишь подтверждением интуитивно полученного результата.

Читать еще:  Какой год по календарю. Характеристика года: что нас ждет и к чему готовиться

Ответ: ряд расходится.

Так как нижний предел суммирования равен 1, то общий член ряда записан под знаком суммы: $u_n=frac><9n^2-n+12>$. Найдём предел общего члена ряда:

Если метод решения данного предела вызывает вопросы, то советую обратиться к теме «Пределы с иррациональностями. Третья часть» (пример №7). Так как предел общего члена ряда не равен нулю, т.е. $lim_u_nneq 0$, то необходимый признак сходимости не выполнен. Следовательно, ряд расходится.

Немного поговорим с позиции интуитивных рассуждений. В принципе, здесь верно всё то же самое, что было сказано в примечании к решению примера №1. Если мысленно «отбросить» все «несущественные» слагаемые в числителе и знаменателе общего члена ряда, то дробь $frac><9n^2-n+12>$ примет вид: $frac><9n^2>=frac><9n^2>=frac><9>$. Т.е. ещё до формального исследования становится ясным, что при $ntoinfty$ общий член ряда к нулю стремиться не станет. К бесконечности – станет, к нулю – нет. Поэтому остаётся лишь показать это строго, что и было сделано выше.

Ответ: ряд расходится.

Исследовать сходимость ряда $sumlimits_^left(5^nsinfrac<8><3^n>right)$.

Так как нижний предел суммирования равен 1, то общий член ряда записан под знаком суммы: $u_n=5^nsinfrac<8><3^n>$. Найдём предел общего члена ряда:

Так как предел общего члена ряда не равен нулю, т.е. $lim_u_nneq 0$, то необходимый признак сходимости не выполнен. Следовательно, ряд расходится.

Пару слов насчёт тех преобразований, которые были осуществлены при вычислении предела. Выражение $5^n$ было помещено в числитель для того, чтобы выражения и в числителе, и в знаменателе стали бесконечно малыми. Т.е. при $ntoinfty$ имеем: $sinfrac<8><3^n>to 0$ и $frac<1><5^n>to 0$. А если мы имеем отношение бесконечно малых, то смело можем применять формулы, указанные в документе «Эквивалентные бесконечно малые функции» (см. таблицу в конце документа). Согласно одной из таких формул, если $xto 0$, то $sin xsim x$. А у нас и есть как раз такой случай: так как $frac<8><3^n>to 0$, то $sinfrac<8><3^n>simfrac<8><3^n>$. Иными словами, мы просто-напросто заменяем выражение $sinfrac<8><3^n>$ выражением $frac<8><3^n>$.

Полагаю, может возникнуть вопрос, зачем же мы преобразовывали выражение $5^nsinfrac<8><3^n>$ к виду дроби, – ведь замену можно было сделать и без такого преобразования. Ответ тут таков: замену-то сделать можно, но вот правомерна ли она будет? Теорема про эквивалентные бесконечно малые функции даёт недвусмысленное указание, что подобные замены возможны лишь в выражениях вида $frac$ (при этом $alpha(x)$ и $beta(x)$ – бесконечно малые), расположенных под знаком предела. Вот мы и преобразовали наше выражение к виду дроби, подогнав его под требования теоремы.

Ответ: ряд расходится.

Исследовать сходимость ряда $sumlimits_^frac<3^n>$.

Так как нижний предел суммирования равен 1, то общий член ряда записан под знаком суммы: $u_n=frac<3^n>$. Вообще-то, вопрос со сходимостью этого ряда легко решается с помощью признака Д’Аламбера. Однако можно применить и необходимый признак сходимости.

Посмотрим повнимательнее на общий член ряда. В числителе расположено выражение $3^n$, которое с возрастанием $n$ увеличивается гораздо быстрее, нежели расположенный в знаменателе $n^2$. Сравните сами: например, если $n=10$, то $3^n=59049$, а $n^2=100$. И этот разрыв стремительно увеличивается с ростом $n$.

Вполне логично предположить, что если $ntoinfty$, то $u_n$ не станет стремиться к нулю, т.е. необходимое условие сходимости выполнено не будет. Осталось лишь проверить эту столь правдоподобную гипотезу и вычислить $lim_u_n=lim_frac<3^n>$. Однако перед вычислением этого предела найдём вспомогательный предел функции $y=frac<3^x>$ при $xto +infty$, т.е. вычислим $lim_frac<3^x>$. Зачем мы это делаем: дело в том, что в выражении $u_n=frac<3^n>$ параметр $n$ принимает лишь натуральные значения ($n=1,2,3,ldots$), а аргумент $x$ функции $y=frac<3^x>$ принимает действительные значения. При нахождении $lim_frac<3^x>$ мы можем применить правило Лопиталя:

Так как $lim_frac<3^x>=+infty$, то $lim_u_n=lim_frac<3^n>=+infty$. Так как $lim_u_nneq 0$, то необходимое условие сходимости ряда не выполнено, т.е. заданный ряд расходится.

Ответ: ряд расходится.

Иные примеры рядов, сходимость которых проверяется с помощью необходимого признака сходимости, находятся во второй части этой темы.

Необходимый признак сходимости числового ряда. Первая часть.

Перед началом работы с этой темой советую посмотреть раздел с терминологией для числовых рядов. Особенно стоит обратить внимание на понятие общего члена ряда. Если у вас есть сомнения в правильности выбора признака сходимости, советую глянуть тему «Выбор признака сходимости числовых рядов».

Необходимый признак сходимости числовых рядов имеет простую формулировку: общий член сходящегося ряда стремится к нулю. Можно записать этот признак и более формально:

Часто в литературе вместо словосочетания «необходимый признак сходимости» пишут «необходимое условие сходимости». Однако перейдём к сути: что означает данный признак? А означает он следующее: если $lim_u_n=0$, то ряд может сходиться. Если же $lim_u_nneq 0$ (или же предела попросту не существует), то ряд $sumlimits_^u_n$ расходится.

Стоит обратить внимание, что равенство $lim_u_n=0$ вовсе не означает сходимости ряда. Ряд может как сходиться, так и расходиться. А вот если $lim_u_nneq 0$, то ряд гарантированно расходится. Если эти нюансы требуют детальных пояснений, то прошу раскрыть примечание.

Что означает словосочетание «необходимое условие»? показатьскрыть

Поясним понятие необходимого условия на примере. Для покупки ручки студенту необходимо иметь 10 рублей. Это можно записать так: если студент покупает ручку, то у него есть 10 рублей. Наличие десяти рублей – это и есть необходимое условие покупки ручки.

Пусть это условие выполнено, т.е. десятка у студента есть. Значит ли это, что он купит ручку? Вовсе нет. Он может купить ручку, а может приберечь деньги на потом. Или купить что-либо иное. Или подарить их кому-то, – вариантов масса 🙂 Иными словами, выполнение необходимого условия покупки ручки (т.е. наличие денег) вовсе не гарантирует покупку этой ручки.

Точно так же и необходимое условие сходимости числового ряда $lim_u_n=0$ вовсе не гарантирует сходимость этого самого ряда. Простая аналогия: если есть деньги, студент может купить ручку, а может и не купить. Если $lim_u_n=0$, ряд может как сходиться, так и расходиться.

Однако что произойдет, если необходимое условие покупки ручки не выполнено, т.е. денег нет? Тогда студент ручку точно не купит. То же самое и с рядами: если необходимое условие сходимости не выполнено, т.е. $lim_u_nneq 0$, то ряд точно будет расходиться.

Говоря кратко: если необходимое условие выполнено, то следствие может как произойти, так и не произойти. Однако если необходимое условие не выполнено, то следствие точно не произойдёт.

Для наглядности приведу пример двух рядов: $sumlimits_^frac<1>$ и $sumlimits_^frac<1>$. Общий член первого ряда $u_n=frac<1>$ и общий член второго ряда $v_n=frac<1>$ стремятся к нулю, т.е.

Однако гармонический ряд $sumlimits_^frac<1>$ расходится, а ряд $sumlimits_^frac<1>$ сходится. Выполнение необходимого условия сходимости вовсе не гарантирует сходимости ряда.

Исходя из необходимого условия сходимости ряда можно сформулировать достаточный признак расходимости числового ряда:

Чаще всего в стандартных примерах необходимый признак сходимости проверяется, если общий член ряда представлен дробью, числитель и знаменатель которой есть некие многочлены. Например, $u_n=frac<3n^2+2n-1><5n^2+7>$ (см. пример №1). Или же могут присутствовать корни от многочленов (см. пример №2). Бывают примеры, которые несколько выбиваются из данной схемы, но для стандартных контрольных работ это редкость (см. примеры во второй части этой темы). Подчеркну главное: с помощью необходимого признака нельзя доказать сходимость ряда. Этот признак используют, когда нужно доказать, что ряд расходится.

Читать еще:  Какой рукав сейчас в моде. Цвет меняет все. Модели платьев с длинным рукавом

Так как нижний предел суммирования равен 1, то общий член ряда записан под знаком суммы: $u_n=frac<3n^2+2n-1><5n^2+7>$. Найдём предел общего члена ряда:

Если метод решения данного предела вызывает вопросы, то советую обратиться к теме «Предел отношения двух многочленов». Так как предел общего члена ряда не равен нулю, т.е. $lim_u_n=frac<3><5>neq 0$, то необходимый признак сходимости не выполнен. Следовательно, ряд расходится.

Решение окончено, однако, полагаю, у читателя возникнет вполне резоннный вопрос: а как мы вообще увидели, что нужно проверить выполнение необходимого условия сходимости? Существует немало признаков сходимости числовых рядов, так почему же взяли именно этот? Данный вопрос совсем не праздный. Но так как ответ на него, возможно, будет интересен не всем читателям, то я скрыл его под примечание.

Почему мы начали применять именно необходимый признак сходимости? показатьскрыть

Если говорить нестрого, то вопрос сходимости этого ряда решается ещё до формального исследования. Я не буду касаться такой темы как порядок роста, просто приведу некие общие рассуждения. Давайте посмотрим на общий член ряда $u_n=frac<3n^2+2n-1><5n^2+7>$ повнимательнее. Сначала обратимся к числителю. Число (-1), расположенное в числителе, можно отбросить сразу: если $ntoinfty$, то данное число будет пренебрежимо малым по сравнению с остальными слагаемыми.

Посмотрим на степени $n^2$ и $n$, имеющиеся в числителе. Вопрос: какой элемент ($n^2$ или $n$) будет расти быстрее прочих?

Ответ здесь прост: наиболее быстро будет увеличивать свои значения именно $n^2$. Например, когда $n=100$, то $n^2=10;000$. И этот разрыв между $n$ и $n^2$ будет всё больше и больше. Поэтому все слагаемые, кроме тех, что содержат $n^2$, мы мысленно отбросим. После такого «отбрасывания» в числителе останется $3n^2$. А после проведения подобной процедуры для знаменателя, там останется $5n^2$. И дробь $frac<3n^2+2n-1><5n^2+7>$ теперь станет такой: $frac<3n^2><5n^2>=frac<3><5>$. Т.е. на бесконечности общий член явно не будет стремиться к нулю. Осталось лишь показать это формально, что и было сделано выше.

Частенько в записи общего члена ряда используют такие элементы, как, например, $sinalpha$ или $arctgalpha$ и тому подобное. Нужно просто помнить, что значения подобных величин не могут выходить за некие числовые границы. Например, каким бы ни было значение $alpha$, значение $sinalpha$ останется в пределах $-1≤sinalpha≤ 1$. Т.е., к примеру, мы можем записать, что $-1≤sin(n!e^n)≤ 1$. А теперь представьте, что в записи общего члена ряда расположено выражение вроде $5n+sin(n!e^n)$. Сыграет ли синус, который может «колебаться» лишь от -1 до 1, хоть какую-либо значимую роль? Ведь значения $n$ устремляются в бесконечность, а синус не сможет превысить даже единицу! Поэтому при предварительном рассмотрении выражения $5n+sin(n!e^n)$ синус можно просто отбросить.

Или, для примера, возьмём арктангенс. Каким бы ни было значение аргумента $alpha$, значения $arctgalpha$ будут удовлетворять неравенству $-frac<2><2>$. Т.е., например, в выражении вроде $7n^3+sqrt<9n+100>-6arctg(5^n+587n^<258>)$ можно сразу отбросить арктангенс. Да и $sqrt<9n+100>$ тоже, оставив при этом лишь $7n^3$.

Чтобы определить, какие элементы можно «отбрасывать», а какие нет, нужен небольшой навык. Чаще всего вопрос сходимости ряда можно решить ещё до формального исследования. А формальное исследование в стандартных примерах служит лишь подтверждением интуитивно полученного результата.

Ответ: ряд расходится.

Так как нижний предел суммирования равен 1, то общий член ряда записан под знаком суммы: $u_n=frac><9n^2-n+12>$. Найдём предел общего члена ряда:

Если метод решения данного предела вызывает вопросы, то советую обратиться к теме «Пределы с иррациональностями. Третья часть» (пример №7). Так как предел общего члена ряда не равен нулю, т.е. $lim_u_nneq 0$, то необходимый признак сходимости не выполнен. Следовательно, ряд расходится.

Немного поговорим с позиции интуитивных рассуждений. В принципе, здесь верно всё то же самое, что было сказано в примечании к решению примера №1. Если мысленно «отбросить» все «несущественные» слагаемые в числителе и знаменателе общего члена ряда, то дробь $frac><9n^2-n+12>$ примет вид: $frac><9n^2>=frac><9n^2>=frac><9>$. Т.е. ещё до формального исследования становится ясным, что при $ntoinfty$ общий член ряда к нулю стремиться не станет. К бесконечности – станет, к нулю – нет. Поэтому остаётся лишь показать это строго, что и было сделано выше.

Ответ: ряд расходится.

Исследовать сходимость ряда $sumlimits_^left(5^nsinfrac<8><3^n>right)$.

Так как нижний предел суммирования равен 1, то общий член ряда записан под знаком суммы: $u_n=5^nsinfrac<8><3^n>$. Найдём предел общего члена ряда:

Так как предел общего члена ряда не равен нулю, т.е. $lim_u_nneq 0$, то необходимый признак сходимости не выполнен. Следовательно, ряд расходится.

Пару слов насчёт тех преобразований, которые были осуществлены при вычислении предела. Выражение $5^n$ было помещено в числитель для того, чтобы выражения и в числителе, и в знаменателе стали бесконечно малыми. Т.е. при $ntoinfty$ имеем: $sinfrac<8><3^n>to 0$ и $frac<1><5^n>to 0$. А если мы имеем отношение бесконечно малых, то смело можем применять формулы, указанные в документе «Эквивалентные бесконечно малые функции» (см. таблицу в конце документа). Согласно одной из таких формул, если $xto 0$, то $sin xsim x$. А у нас и есть как раз такой случай: так как $frac<8><3^n>to 0$, то $sinfrac<8><3^n>simfrac<8><3^n>$. Иными словами, мы просто-напросто заменяем выражение $sinfrac<8><3^n>$ выражением $frac<8><3^n>$.

Полагаю, может возникнуть вопрос, зачем же мы преобразовывали выражение $5^nsinfrac<8><3^n>$ к виду дроби, – ведь замену можно было сделать и без такого преобразования. Ответ тут таков: замену-то сделать можно, но вот правомерна ли она будет? Теорема про эквивалентные бесконечно малые функции даёт недвусмысленное указание, что подобные замены возможны лишь в выражениях вида $frac$ (при этом $alpha(x)$ и $beta(x)$ – бесконечно малые), расположенных под знаком предела. Вот мы и преобразовали наше выражение к виду дроби, подогнав его под требования теоремы.

Ответ: ряд расходится.

Исследовать сходимость ряда $sumlimits_^frac<3^n>$.

Так как нижний предел суммирования равен 1, то общий член ряда записан под знаком суммы: $u_n=frac<3^n>$. Вообще-то, вопрос со сходимостью этого ряда легко решается с помощью признака Д’Аламбера. Однако можно применить и необходимый признак сходимости.

Посмотрим повнимательнее на общий член ряда. В числителе расположено выражение $3^n$, которое с возрастанием $n$ увеличивается гораздо быстрее, нежели расположенный в знаменателе $n^2$. Сравните сами: например, если $n=10$, то $3^n=59049$, а $n^2=100$. И этот разрыв стремительно увеличивается с ростом $n$.

Вполне логично предположить, что если $ntoinfty$, то $u_n$ не станет стремиться к нулю, т.е. необходимое условие сходимости выполнено не будет. Осталось лишь проверить эту столь правдоподобную гипотезу и вычислить $lim_u_n=lim_frac<3^n>$. Однако перед вычислением этого предела найдём вспомогательный предел функции $y=frac<3^x>$ при $xto +infty$, т.е. вычислим $lim_frac<3^x>$. Зачем мы это делаем: дело в том, что в выражении $u_n=frac<3^n>$ параметр $n$ принимает лишь натуральные значения ($n=1,2,3,ldots$), а аргумент $x$ функции $y=frac<3^x>$ принимает действительные значения. При нахождении $lim_frac<3^x>$ мы можем применить правило Лопиталя:

Читать еще:  Купить свитер с крупной вязкой. Вязаный женский свитер спицами: схемы с описанием моделей крупной вязки и с косами. Видео: Вяжем красивый джемпер.

Так как $lim_frac<3^x>=+infty$, то $lim_u_n=lim_frac<3^n>=+infty$. Так как $lim_u_nneq 0$, то необходимое условие сходимости ряда не выполнено, т.е. заданный ряд расходится.

Ответ: ряд расходится.

Иные примеры рядов, сходимость которых проверяется с помощью необходимого признака сходимости, находятся во второй части этой темы.

Определение и свойства сходящихся рядов

Сходящийся числовой ряд и его сумма.

Выражение (a_ <1>+ a_ <2>+ ldots + a_ + ldots), где (>) — заданная числовая последовательность, будем называть числовым рядом и обозначать символом (displaystylesum_^a_), а числа (a_) будем называть членами ряда. Сумму (n) первых членов ряда (displaystylesum_^a_) будем называть (n)-й частичной суммой этого ряда и обозначать (S_), то есть
$$
S_ = sum_^a_.label
$$

Ряд
$$
sum_^a_label
$$
называется сходящимся, если последовательность его частичных сумм (>) имеет конечный предел (S), то есть
$$
lim_S_ = S.label
$$
Число (S), определяемое условиями eqref и eqref, называют суммой ряда eqref и пишут
$$
sum_^a_ = S.label
$$

Если последовательность (>) не имеет конечного предела (предел не существует или бесконечен), то говорят, что ряд eqref расходится (является расходящимся).

Необходимое условие сходимости ряда.

(circ) Так как ряд eqref сходится, то существует конечный предел (S) последовательности (>), где (S_) — (n)-я частичная сумма ряда (формула eqref). Тогда (displaystylelim_S_ = S) и (displaystylelim_S_ = S), откуда следует, что (S_-S_ = a_ rightarrow 0) при (n rightarrow infty). (bullet)

Таким образом, соотношение eqref выражает необходимое условие сходимости ряда.

Доказать, что ряд (displaystylesum_^frac<1>>) расходится.

(vartriangle) Так как (displaystylefrac<1>> geq frac<1>>) при (k = 1, 2, ldots, n), то (S_ = displaystylesum_^frac<1>> geq n frac<1>>) откуда следует, что (S_ rightarrow +infty) при (n rightarrow infty), то есть ряд (displaystylesum_^frac<1>>) расходится. (blacktriangle)

Условие eqref не является достаточным для сходимости ряда eqref: ряд, рассмотренный в примере 4, удовлетворяет условию eqref, но расходится.

Доказать, что ряд
$$
sum_^sin nalpha, mbox<где> alpha neq pi m (m in mathbb),label
$$
расходится.

(vartriangle) Докажем, что
$$
sin nalpha nrightarrow 0 mbox<при> n rightarrow infty,label
$$

Предположим, что (sin nalpha rightarrow 0) при (n rightarrow infty). Тогда (sin (n + 1)alpha rightarrow 0) при (n rightarrow infty), то есть (sin nalpha cos alpha + cos nalpha sin alpha rightarrow 0), откуда следует, что (cos nalpha rightarrow 0) при (n rightarrow infty), так как (sin alpha neq 0). Итак, если (sin nalpha rightarrow 0), то (cos nalpha rightarrow 0) при (n rightarrow infty), что невозможно, так как (sin^ <2>nalpha + cos^ <2>nalpha = 1).

Таким образом, для ряда eqref должно выполняться условие eqref, и поэтому ряд eqref расходится. (blacktriangle)

Свойства сходящихся рядов.

Если ряды (displaystylesum_^a_) и
$$
sum_^b_,label
$$
сходятся, а их суммы равны соответственно (S) и (sigma), то при любых (lambda, mu in mathbb) сходится ряд
$$
sum_^(lambda a_ + mu b_),label
$$
а его сумма равна
$$
tau = lambda S + musigma.label
$$

(circ) Пусть (S_), (sigma_) и (tau_) — (n)-е частичные суммы рядов eqref, eqref и eqref соответственно. Тогда (tau_ = lambda S_ + musigma_). Так как (S_ rightarrow S) и (sigma_ rightarrow sigma) при (n rightarrow infty), то последовательность (>) имеет конечный предел, то есть ряд eqref сходится, и справедливо равенство eqref. (bullet)

Если сходится ряд (displaystylesum_^a_), то при каждом (m in mathbb) сходится ряд
$$
sum_^a_,label
$$
который называют (m)-м остатком ряда (displaystylesum_^a_). Обратно: если при фиксированном (m) ряд eqref сходится, то и ряд (displaystylesum_^a_) также сходится.

(circ) Пусть (S_ = a_ <1>+ ldots + a_) и (sigma_^ <(m)>= a_ + ldots + a_)-соответственно (n)-я частичная сумма ряда eqref и (k)-я частичная сумма ряда eqref. Тогда
$$
S_ = S_ + sigma_^<(m)>, mbox<где> n = m + k.label
$$
Если ряд eqref сходится, то последовательность (>) имеет конечный предел при (n rightarrow infty), и поэтому из равенства eqref следует, что последовательность (^<(m)>>), где (m) фиксировано, имеет конечный предел при (k rightarrow infty), то есть ряд eqref сходится.

Обратно: если (m) фиксировано и существует конечный (displaystylelim_sigma_^<(m)>) то существует конечный (displaystylelim_S_). (bullet)

Согласно свойству 2 отбрасывание конечного числа членов ряда или добавление конечного числа членов к данному ряду не влияет на его сходимость.

Если ряд (displaystylesum_^a_) сходится, то и ряд
$$
sum_^b_,label
$$
полученный группировкой членов ряда (displaystylesum_^a_) без изменения порядка их расположения, также сходится и имеет ту же сумму, что и ряд (displaystylesum_^a_).

(circ) Пусть (b_ <1>= a_ <1>+ a_ <2>+ ldots + a_>), (b_ <2>= displaystyle a_ + 1> + a_ + 2> + ldots + a_>), …, (b_ = a_-1> + ldots + a_>) где (j in mathbb), (>) — строго возрастающая последовательность натуральных чисел. Обозначим (S_ = displaystylesum_^a_), (sigma_ = displaystylesum_^b_); тогда (sigma_ = S_>). Так как (>) — подпоследовательность сходящейся последовательности (S_<1>, S_<2>, ldots), то существует (displaystylelim_sigma_ = S), где (S) — сумма ряда eqref. (bullet)

Критерий Коши сходимости ряда.

Для сходимости ряда eqref необходимо и достаточно, чтобы
$$
forall varepsilon > 0 exists N_: forall n geq N_, forall p in mathbb rightarrow |a_ + a_ + ldots + a_| 0: forall k in mathbb, exists n geq k exists p in mathbb: |a_ + ldots + a_| geq varepsilon_<0>.label
$$
то ряд eqref расходится.

Доказать, что гармонический ряд
$$
sum_^frac<1>,label
$$
расходится.

(vartriangle) Для любого (k in mathbb) возьмем (n = k), (p = k). Тогда (displaystylesum_^a_ = frac<1> + ldots + frac<1> <2k>> frac<1><2k>k = frac<1> <2>= varepsilon_<0>), и в силу условия eqref ряд eqref расходится. (blacktriangle)

Ряды с комплексными членами.

Последовательность комплексных чисел (>) называют сходящейся, если существует такое комплексное число (z), что
$$
lim_|z_-z| = 0,nonumber
$$
где (|z|) — модуль комплексного числа (z). В этом случае пишут (displaystylelim_z_ = z) или (z_ rightarrow z) при (n rightarrow infty).

Если (z_ = x_ + iy_), (z = x + iy), то условие (z_ rightarrow z) при (n rightarrow infty) эквивалентно выполнению условий (x_ rightarrow x) и (y_ rightarrow y) при (n rightarrow infty).

Ряд с комплексными членами
$$
sum_^z_,label
$$
называют сходящимся, если существует
$$
lim_ sum_^z_ = S,nonumber
$$
где (S in mathbb). В этом случае пишут (displaystylesum_^z_ = S), а комплексное число (S) называют суммой ряда eqref.

Источники:

http://math1.ru/education/num_series/ncondition1.html
http://math1.ru/education/num_series/ncondition1.html
http://univerlib.com/mathematical_analysis/numerical_rows/convergent_series_def/

Ссылка на основную публикацию
Статьи на тему:

Adblock
detector