Формулы и правила дифференцирования. Найти производную: алгоритм и примеры решений

Примеры решения производных с ответами

Простое объяснение принципов решения производных и 10 наглядных примеров. В каждом примере поэтапный ход решения и ответ.

Алгоритм решения производных

Внимание!

Если вам нужна помощь в написании работы, то рекомендуем обратиться к профессионалам. Более 70 000 авторов готовы помочь вам прямо сейчас. Бесплатные корректировки и доработки. Узнайте стоимость своей работы

Для вычисления производных вам потребуется таблица производных. Кроме того, существуют формулы для нахождения сложных производных.

Процесс нахождения производный называется дифференцированием.

1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 0, c neq 1″ title=»Rendered by QuickLaTeX.com» height=»21″ width=»233″ style=»vertical-align: -5px;» />
11. 0, c neq 1″ title=»Rendered by QuickLaTeX.com» height=»21″ width=»192″ style=»vertical-align: -5px;» />
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
17. 
18. 
19. 
20. 
21. 
22. 
23. 

– производная суммы (разницы).

– производная произведения.

– производная частного.

Примеры решений производных

Задача

Найти производную функции

Решение

Заданная функция является сложной и её производная равна произведению производной от косинуса на производную от его аргумента:

Ответ

Задание

Найти производную функции

Решение

Обозначим , где . Тогда, согласно правила вычисления производной сложной функции, получим:

Ответ

Задача

Найти производную функции при .

Решение

.
.

Ответ

.

Задача

Найти производную функции .

Решение

.
После приведения подобных членов получаем:
.

Ответ

.

Задача

Найти производную функции .

Решение

В этом примере квадратный корень извлекается из суммы . Поэтому сначала вычисляем производную от квадратного корня, а затем умножаем ее на производную от подкоренного выражения:
.

Ответ

.

Задача

Найти производную функции .

Решение

Применяя правила дифференцирования дробей, получаем:

.
Применяя правила дифференцирования котангенса, получаем:
.
Учитывая, что и , после упрощения получим:
.

Ответ

.

Задача

Найти производную функции .

Решение

Применяя правила дифференцирования дробей, получаем:
.

Ответ

.

Задача

Найти производную функции .

Решение

Применяя правила дифференцирования дробей, получаем:
.

Ответ

.

Задача

Найти производную функции .

Решение

Дифференцирование можно произвести в два этапа: вначале продифференцировать степень функции арксинус, а затем произвести дифференцирование самого арксинуса, перемножив результаты:
.

Ответ

.

Задача

Найти производную функции .

Решение

По правилам дифференцирования показательной функции с основанием , производная этой функции равна произведению самой функции на производную функции, являющейся показателем степени:
.

Ответ

.

Правила дифференцирования: доказательство и примеры

Чтобы успешно решать задачи на дифференцирование, нужно уметь находить разные виды производных. Данная статья посвящена основным правилам дифференцирования, которые постоянно используются на практике. С помощью самого определения производной функции мы сформулируем доказательства всех этих правил и подробно рассмотрим несколько примеров, чтобы понять, как они применяются при решении задач.

Условимся заранее, что все функции f ( x ) и g ( x ) , упомянутые здесь, будем считать дифференцируемыми на промежутке x , иными словами, для любого x 0 = x ∈ X будет справедливо равенство f ‘ ( x ) = lim ∆ x → 0 ∆ f ( x ) ∆ x , g ‘ ( x ) = lim ∆ x → 0 ∆ g ( x ) ∆ x . Здесь ∆ f ( x ) = f ( x + ∆ x ) — f ( x ) , ∆ g ( x ) = g ( x + ∆ x ) — g ( x ) считаются приращениями указанных функций. Также это можно записать как f ( x + ∆ x ) = f ( x ) + ∆ f ( x ) , g ( x + ∆ x ) = g ( x ) + ∆ g ( x ) .

Сформулируем основные проблемы дифференцирования:

1. Как вынести постоянный множитель за знак производной.
2. Как вычислить производную суммы и производную разности.
3. Как вычислить производную произведения функций.
4. Как вычислить производную частного двух функций (дробного выражения с функциями).

Разберем все эти случаи по порядку.

C · f ( x ) ‘ = C · f ‘ ( x ) , C ∈ R ( f ( x ) ± g ( x ) ) ‘ = f ‘ ( x ) ± g ‘ ( x ) ( f ( x ) · g ( x ) ) ‘ = f ‘ ( x ) · g ( x ) + f ( x ) · g ‘ ( x ) f ( x ) g ( x ) ‘ = f ‘ ( x ) · g ( x ) — f ( x ) · g ‘ ( x ) g 2 ( x )

Как вынести постоянный множитель за знак производной

Для начала нам нужно доказать следующую формулу:

C · f ( x ) ‘ = C · f ‘ ( x ) , C ∈ R

Используя определение производной, запишем следующее:

C · f ( x ) ‘ = lim ∆ x → 0 ∆ ( C · f ( x ) ) ∆ x = lim ∆ x → 0 C · f ( x + ∆ x ) — C · f ( x ) ∆ x = = lim ∆ x → 0 C · f ( x + ∆ x ) — f ( x ) ∆ x = lim ∆ x → 0 C · ∆ f ( x ) ∆ x

Если в таком выражении у нас есть произвольный множитель, он может быть вынесен за знак предельного перехода (мы доказывали это утверждение, когда изучали свойства предела). Значит, C · f ( x ) ‘ = lim ∆ x → 0 C · ∆ f ( x ) ∆ x = C · lim ∆ x → 0 ∆ f ( x ) ∆ x = C · f ‘ ( x ) .

Этим мы доказали первое правило дифференцирования. Разберем задачу на его применение.

Дана функция y = 2 · cos x . Необходимо вычислить ее производную.

Решение

Обратимся к таблице производных для тригонометрических функций и выясним, что cos x ‘ = — sin x .

Вынесем множитель за знак производной и получим:

y ‘ = 2 · cos x ‘ = 2 · cos x ‘ = — 2 · sin x

Ответ: y ‘ = 2 · cos x ‘ = 2 · cos x ‘ = — 2 · sin x .

Это самый простой пример. На практике чаще всего приходится предварительно преобразовывать дифференцируемую функцию, чтобы увидеть нужное значение в таблице производных и применить соответствующее правило.

Продифференцировать функцию f ( x ) = log 3 x 2 — 1 .

Решение

Зная свойства логарифмической функции, мы можем сразу записать, что f ( x ) = log 3 x 2 — 1 = 2 — 1 · log 3 x . Теперь вспоминаем, как вычислить для нее производную, и выносим постоянный множитель:

f ( x ) = log 3 x 2 — 1 ‘ = 2 — 1 · log 3 x ‘ = = 2 — 1 · log 3 x ‘ = 2 — 1 x · ln 3

Ответ: f ( x ) = 2 — 1 x · ln 3

Дана функция y = 1 2 — x + 3 . Вычислите ее производную.

Решение

Сначала нам нужно выполнить преобразование исходной функции.

y = 1 2 — x + 3 = 1 2 — x · 2 3 = 2 x 2 3

Далее применяем изученное выше правило и берем из таблицы производных соответствующее значение:

y ‘ = 2 x 2 3 ‘ = 1 2 3 · 2 x ‘ = 1 2 3 · 2 x · ln 2 = 2 x — 3 · ln 2

Ответ: y ‘ = 2 x — 3 · ln 2

Как вычислить производную суммы и производную разности

Чтобы доказать второе правило дифференцирования f ( x ) ± g ( x ) ‘ = f ‘ ( x ) ± g ‘ ( x ) , нам нужно вспомнить определение производной, а также одно из свойств, которым обладает предел непрерывной функции.

f ( x ) ± g ( x ) ‘ = lim ∆ x → 0 ∆ ( f ( x ) ± g ( x ) ) ∆ x = = lim ∆ x → 0 f x + ∆ x ± g x + ∆ x — ( f ( x ) ± g ( x ) ) ∆ x = = lim ∆ x → 0 f ( x + ∆ x ) — f ( x ) ± ( g ( x + ∆ x ) — g ( x ) ) ∆ x = = lim ∆ x → 0 f ( x + ∆ x ) — f ( x ) ∆ x ± lim ∆ x → 0 g ( x + ∆ x ) — g ( x ) ∆ x = = lim ∆ x → 0 ∆ f ( x ) ∆ x ± lim ∆ x → 0 ∆ g ( x ) ∆ x = f ‘ ( x ) ± g ‘ ( x )

Так мы можем доказать равенство производной суммы или разности n-ного количества функций сумме или разности их производных:

f 1 ( x ) ± f 2 ( x ) ± . . . ± f n ( x ) ‘ = f 1 ‘ ( x ) ± f 2 ‘ ± . . . ± f n ‘ ( x )

Вычислить производную y = x 3 + 3 x + 1 — ln x ln 5 + 3 .

Решение

Первым делом упрощаем данную функцию.

y = x 3 + 3 x + 1 — ln x ln 5 + 3 = x 3 + 3 · 3 x — ln ( 5 + 3 ) · ln x

После этого применяем второе правило – производной суммы/разности:

y ‘ = ( x 3 ) ‘ + 3 · 3 x ‘ — ln 5 + 3 · ln x ‘

Первое правило говорит нам о том, что можно вынести постоянный множитель за знак производной, значит:

y ‘ = ( x 3 ) ‘ + 3 · 3 x ‘ — ln 5 + 3 · ln x ‘ = = ( x 3 ) ‘ + 3 · 3 x ‘ — ln ( 5 + 3 ) · ln x ‘

Нам остается только заглянуть в таблицу производных и взять оттуда соответствующее значение:

y ‘ = ( x 3 ) ‘ + 3 · 3 x ‘ — ln ( 5 + 3 ) · ln x ‘ = = 3 · x 3 — 1 + 3 · 3 x · ln 3 — ln 5 + 3 x = 3 · x 2 + 3 x + 1 · ln 3 — ln ( 5 + 3 ) x

Ответ: y ‘ = 3 · x 2 + 3 x + 1 · ln 3 — ln ( 5 + 3 ) x

Как вычислить производную произведения функций

Правило дифференцирования произведения двух функций выглядит следующим образом: f x · g ( x ) ‘ = f ‘ ( x ) · g ( x ) ‘ + f ( x ) · g ‘ ( x )

Попробуем доказать его.

Для начала вычислим предел отношения приращения произведения функций к приращению аргумента. Здесь нужно вспомнить, что f ( x + ∆ x ) = f ( x ) + ∆ f ( x ) , g ( x + ∆ x ) = g ( x ) + ∆ g ( x ) , а lim ∆ x → 0 ∆ g ( x ) = 0 , lim ∆ x → 0 ∆ f ( x ) = 0 , то есть если приращение аргумента стремится к 0 , то и приращение функции также будет к нему стремиться.

( f ( x ) · g ( x ) ) ‘ = lim ∆ x → 0 ∆ ( f ( x ) · g ( x ) ) ∆ x = lim ∆ x → 0 f ( x + ∆ x ) · g ( x + ∆ x ) — f ( x ) · g ( x ) ∆ x = = lim ∆ x → 0 ( f ( x ) + ∆ f ( x ) ) + ( g ( x ) · ∆ g ( x ) ) — f ( x ) · g ( x ) ∆ x = = lim ∆ x → 0 f ( x ) · g ( x ) + g ( x ) · ∆ f ( x ) + f ( x ) · ∆ g ( x ) + ∆ f ( x ) · ∆ g ( x ) — f ( x ) · g ( x ) ∆ x = = lim ∆ x → 0 g ( x ) · ∆ f ( x ) + f ( x ) · ∆ g ( x ) + ∆ f ( x ) · ∆ g ( x ) ∆ x = = lim ∆ x → 0 g ( x ) · ∆ f ( x ) ∆ x + lim ∆ x → 0 f ( x ) · ∆ g ∆ x + lim ∆ x → 0 ∆ f ( x ) ∆ x · lim ∆ x → 0 ∆ g ( x ) = = g ( x ) · lim ∆ x → 0 ∆ f ( x ) ∆ x + f ( x ) · lim ∆ x → 0 ∆ g ( x ) ∆ x + f ‘ ( x ) · 0 = = f ‘ ( x ) · g ( x ) + f ( x ) · g ‘ ( x )

Это и есть результат, который нам нужно было доказать.

Продифференцируйте функцию y = t g x · a r c sin x .

Решение

Здесь f ( x ) = t g x , g ( x ) = a r c sin x . Можем воспользоваться правилом производной произведения:

y ‘ = ( t g x · a r c sin x ) ‘ = ( t g x ) ‘ · a r c sin x + t g x · ( a r c sin x ) ‘

Берем нужное значение из таблицы производных основных элементарных функций и записываем ответ:

y ‘ = ( t g x · a r c sin x ) ‘ = ( t g x ) ‘ · a r c sin x + t g x · ( a r c sin x ) ‘ = = a r c sin x cos 2 x + t g x 1 — x 2

Ответ: y ‘ = a r c sin x cos 2 x + t g x 1 — x 2

Дана функция y = e x x 3 . Вычислите производную.

Решение

Здесь мы имеем f ( x ) = e x , g ( x ) = 1 x 3 = x — 1 3 . Значит,

y ‘ = e x x 3 = e x · x — 1 3 ‘ = e x ‘ · x — 1 3 + e x · x — 1 3 = = e x · x — 1 3 + e x · — 1 3 · x — 1 3 — 1 = e x x 3 — e x x 4 3 = e x x 3 · 1 — 1 x

Ответ: y ‘ = e x x 3 · 1 — 1 x

Теперь разберем, что нужно делать в случае, когда производную нужно найти для произведения трех функций. По той же схеме решаются задачи с произведениями четырех, пяти и большего количества функций.

Продифференцируйте функцию y = ( 1 + x ) · sin x · ln x .

Решение

Возьмем за основу правило для двух функций. Будем считать функцией f ( x ) произведение ( 1 + x ) · sin x , а g ( x ) – ln x .

У нас получится следующее:

y ‘ = ( ( 1 + x ) · sin x · ln x ) ‘ = 1 + x · sin x ‘ · ln x + 1 + x · sin x · ln x ‘

Чтобы найти 1 + x · sin x ‘ , нам снова потребуется правило вычисления производной произведения:

1 + x · sin x ‘ = ( 1 + x ) ‘ · sin x + 1 + x · ( sin x ) ‘

С помощью этого правила и таблицы производных получим:

1 + x · sin x ‘ = ( 1 + x ) ‘ · sin x + 1 + x · ( sin x ) ‘ = = 1 ‘ + x ‘ · sin x + ( 1 + x ) · cos x = 0 + 1 · x 1 — 1 · sin x + ( 1 + x ) · cos x = = ( 0 + 1 ) · sin x + 1 + x · cos x = sin x + cos x + x · cos x

Теперь подставим в формулу то, что у нас получилось:

y ‘ = 1 + x · sin x · ln x ‘ = 1 + x · sin x ‘ · ln x + ( 1 + x ) · sin x · ( ln x ) ‘ = = sin x + cos x + x · cos x · ln x + ( 1 + x ) · sin x x

Ответ: y ‘ = sin x + cos x + x · cos x · ln x + ( 1 + x ) · sin x x

Из этого примера видно, что иногда приходится применять несколько правил дифференцирования подряд для вычисления нужного результата. Это не так сложно, как кажется, главное – соблюдать нужную последовательность действий.

Дана функция y = 2 · s h x — 2 x · a r c t g x , вычислите ее производную.

Решение

Исходная функция является разностью выражений 2 · s h x и 2 x · a r c t g x , значит, y ‘ = 2 · s h x — 2 x · a r c t g x ‘ = 2 · s h x ‘ — 2 x · a r c t g x ‘ . Здесь можно вынести за знак производной число 2 , а в другом произведении применить подходящее для произведений правило:

y ‘ = 2 · s h x ‘ — 2 x · a r c t g x ‘ = 2 · s h x ‘ — 2 x ‘ · a r c t g x + 2 x · ( a r c t g x ) ‘ = = 2 · c h x — 2 x · ln 2 · a r c t g x + 2 x 1 + x 2 = 2 · c h x — 2 x · ln 2 · a r c t g x — 2 x 1 + x 2

Ответ: y ‘ = 2 · c h x — 2 x · ln 2 · a r c t g x — 2 x 1 + x 2

Как вычислить производную частного двух функций (дробного выражения с функциями)

Данное правило выглядит следующим образом: f ( x ) g ( x ) ‘ = f ‘ ( x ) · g ( x ) — f ( x ) · g ‘ ( x ) g 2 ( x ) .

Сразу отметим, что g ( x ) не будет обращаться в 0 ни при каких значениях x из указанного промежутка. Согласно определению производной, получим:

f ( x ) g ( x ) ‘ = = lim ∆ x → 0 ∆ f ( x ) g ( x ) ∆ x = lim ∆ x → 0 f ( x + ∆ x ) g ( x + ∆ x ) — f ( x ) g ( x ) ∆ x = lim ∆ x → 0 f ( x + ∆ x ) · g ( x ) — g ( x + ∆ x ) · f ( x ) ∆ x · g ( x + ∆ x ) · g ( x ) = = 1 g 2 ( x ) · lim ∆ x → 0 ( f ( x ) + ∆ f ( x ) ) · g ( x ) — ( g ( x ) + ∆ g ( x ) ) · f ( x ) ∆ x = = 1 g 2 ( x ) · lim ∆ x → 0 f ( x ) · g ( x ) + g ( x ) · ∆ f ( x ) — f ( x ) · g ( x ) — f ( x ) · ∆ g ( x ) ∆ x = = 1 g 2 ( x ) · lim ∆ x → 0 g x · ∆ f ( x ) — f ( x ) · ∆ g ( x ) ∆ x = = 1 g 2 ( x ) · g ( x ) · lim ∆ x → 0 ∆ f ( x ) ∆ x — f ( x ) · lim ∆ x → 0 ∆ g ( x ) ∆ x = = f ‘ ( x ) · g ( x ) — f ( x ) · g ‘ ( x ) g 2 ( x )

Продифференцируйте функцию y = sin x 2 · x + 1 .

Решение

Эта функция является отношением двух выражений 2 x + 1 и sin x . Воспользуемся приведенным выше правилом дифференцирования дробного выражения и получим:

y ‘ = sin x 2 · x + 1 ‘ = sin x ‘ · 2 · x + 1 — sin x · 2 · x + 1 ‘ 2 · x + 1 2

После этого нам потребуется правило для суммы, а также правило вынесения постоянного множителя за знак производной:

y ‘ = sin x ‘ · 2 · x + 1 — sin x · 2 · x + 1 ‘ 2 · x + 1 2 = = cos x · ( 2 · x + 1 ) — sin x · 2 x ‘ + 1 ‘ ( 2 · x + 1 ) 2 = cos x · ( 2 · x + 1 ) — sin x · ( 2 · x ‘ + 0 ) ( 2 · x + 1 ) 2 = = cos x · 2 · x + 1 — sin x · ( 2 · 1 · x 1 — 1 + 0 ) ( 2 · x + 1 ) 2 = 2 · x · cos x + cos x — 2 · sin x ( 2 · x + 1 ) 2

Ответ: y ‘ = 2 · x · cos x + cos x — 2 · sin x ( 2 · x + 1 ) 2

Возьмем задачу на применение всех изученных правил.

Дана функция y = 3 e x — x 2 · ln x — 2 · x a x + 2 sin x · a r c cos x , где значение undefined является положительным действительным числом. Вычислите производную.

Решение

y ‘ = 3 · e x ‘ — x 2 · ln x — 2 · x a x ‘ + 2 sin x · a r c cos x ‘

Поясним, как это получилось.

Первым слагаемым будет 3 · e x ‘ = 3 · e x ‘ = 3 · e x .

x 2 · ln x — 2 · x a x ‘ = x 2 · ln x — 2 · x · a x — x 2 · ln x — 2 · x · a x ‘ a x 2 = = x 2 · ln x ‘ — 2 · x ‘ · a x — x 2 · ln x — 2 · x · a x · ln a a 2 · x = = 2 · x 2 — 1 · ln x + x 2 · 1 x — 2 · 1 · x 1 — 1 · a x — x 2 · ln x — 2 · x · a x · ln a a 2 · x = = 2 · x 2 — 1 · ln x + x 2 · 1 x — 2 · 1 · x 1 — 1 · a x — x 2 · ln x — 2 · x · a x · ln a a 2 · x = = 2 · x · ln x + x — 2 · a x — x 2 · ln x — 2 · x · a x · ln a a 2 · x = = x · ln x · ( 2 — x · ln a ) + x · 1 — 2 · ln a — 2 a x

Вычисляем третье слагаемое:

2 sin x · a r c cos x ‘ = 2 · sin x · a r c cos x ‘ = = 2 · sin x ‘ · a r c cos x + sin x · a r c cos x ‘ = = 2 · cos x · a r c cos x — sin x 1 — x 2

Теперь собираем все, что у нас получилось:

y ‘ = 3 · e x ‘ — x 2 · ln x — 2 · x a x + 2 sin x · a r c cos x ‘ = = 3 · e x — x · ln x · ( 2 — x · ln a ) + x · 1 — 2 · ln a — 2 a x + + 2 · cos x · a r c cos x — sin x 1 — x 2

В задачах, которые мы разобрали в этой статье, использовались только основные элементарные функции, которые были связаны между собой знаками простых арифметических действий. Они нагляднее всего иллюстрируют правила дифференцирования. Однако возможно их применение и к более сложным функциям.

После того, как мы разберем, что такое производная сложной функции, мы сможете проводить дифференцирование выражений любой сложности.

Таблица производных и правила дифференцирования

О том, что такое производная, мы рассказали в статье «Геометрический смысл производной». Если функция задана графиком, её производная в каждой точке равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции. А если функция задана формулой — вам помогут таблица производных и правила дифференцирования, то есть правила нахождения производной.

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

Для решения задач на исследование функции в вариантах ЕГЭ ЕГЭ необходима таблица производных и правила дифференцирования, а также знания о том, как связана производная с поведением функции.

Смотри также, как решаются задачи ЕГЭ на применение производной: задача 7 и задача 12.

Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России) +7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)

Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.

Обучающее видео
БЕСПЛАТНО

Техническая поддержка:
help@ege-study.ru (круглосуточно)

Полный онлайн-курс подготовки к ЕГЭ по математике. Структурировано. Четко. Без воды. Сдай ЕГЭ на 100 баллов!

Для нормального функционирования и Вашего удобства, сайт использует файлы cookies. Это совершенно обычная практика.Продолжая использовать портал, Вы соглашаетесь с нашей Политикой конфиденциальности.

Все поля обязательны для заполнения

Премиум

Вся часть 2 на ЕГЭ по математике, от задачи 13 до задачи 19. То, о чем не рассказывают даже ваши репетиторы. Все приемы решения задач части 2. Оформление задач на экзамене. Десятки реальных задач ЕГЭ, от простых до самых сложных.

Видеокурс «Премиум» состоит из 7 курсов для освоения части 2 ЕГЭ по математике (задачи 13-19). Длительность каждого курса — от 3,5 до 4,5 часов.

1. Уравнения (задача 13)
2. Стереометрия (задача 14)
3. Неравенства (задача 15)
4. Геометрия (задача 16)
5. Финансовая математика (задача 17)
6. Параметры (задача 18)
7. Нестандартная задача на числа и их свойства (задача 19).

Здесь то, чего нет в учебниках. Чего вам не расскажут в школе. Приемы, методы и секреты решения задач части 2.

Каждая тема разобрана с нуля. Десятки специально подобранных задач, каждая из которых помогает понять «подводные камни» и хитрости решения. Автор видеокурса Премиум — репетитор-профессионал Анна Малкова.

Получи пятерку

Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!

Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.

Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.

Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.

Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля — до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.

Сразу после оплаты вы получите ссылки на скачивание видеокурсов и уникальные ключи к ним.

Задачи комплекта «Математические тренинги — 2019» непростые. В каждой – интересные хитрости, «подводные камни», полезные секреты.

Варианты составлены так, чтобы охватить все возможные сложные задачи, как первой, так и второй части ЕГЭ по математике.

Как пользоваться?

1. Не надо сразу просматривать задачи (и решения) всех вариантов. Такое читерство вам только помешает. Берите по одному! Задачи решайте по однойи старайтесь довести до ответа.
2. Если почти ничего не получилось – начинать надо не с решения вариантов, а с изучения математики. Вам помогут книга для подготовки к ЕГЭи Годовой Онлайн-курс.
3. Если вы правильно решили из первого варианта Маттренингов 5-7 задач – значит, знаний не хватает. Смотри пункт 1: Книгаи Годовой Онлайн-курс!
4. Обязательно разберите правильные решения. Посмотрите видеоразбор – в нем тоже много полезного.
5. Можно решать самостоятельно или вместе с друзьями. Или всем классом. А потом смотреть видеоразбор варианта.

Стоимость комплекта «Математические тренинги – 2019» — всего 1100 рублей. За 5 вариантов с решениями и видеоразбором каждого.

Это пробная версия онлайн курса по профильной математике.

Вы получите доступ к 3 темам, которые помогут понять принцип обучения, работу платформы и оценить ведущую курса Анну Малкову.

— 3 темы курса (из 50).
— Текстовый учебник с видеопримерами.
— Мастер-класс Анны Малковой.
— Тренажер для отработки задач.

Регистрируйтесь, это бесплатно!

Нажимая на кнопку, вы даете согласие на обработку своих персональных данных

Источники:

http://nauchniestati.ru/spravka/primery-resheniya-proizvodnyh/
http://zaochnik.com/spravochnik/matematika/proizvodnye/pravila-differentsirovanija/
http://ege-study.ru/ru/ege/materialy/matematika/tablica-proizvodnyx/