Преобразование лапласа теория с иллюстрациями и примерами. Преобразование лапласа основные определения свойства формула дюамеля

Содержание

Преобразование Лапласа и его свойства

Содержание

Преобразование Лапласа как разложение сигнала по системе затухающих комплексных экспонент

Ранее мы рассмотрели преобразование Фурье сигнала :

где — спектральная плотность сигнала , и — операторы прямого и обратного преобразования Фурье соответственно.

Условием существования преобразования Фурье является абсолютная интегрируемость [1] исходного сигнала сигнала , т.е. сходимость интеграла:

При рассмотрении преобразования Фурье предполагается, что время измеряется от минус бесконечности до плюс бесконечности. Кроме того (2) сужает класс сигналов, для которых существует преобразование Фурье.

С другой стороны, все физические процессы имеют начало, поэтому мы можем считать, что исходный сигнал определён на положительном интервале времени, т.е , при .

Для того, чтобы предотвратить расхождение интеграла (2) умножим входной сигнал на , где — вещественная величина. Рассмотрим преобразование Фурье полученного сигнала:

Очевидно, зависит от параметра . Тогда можно трактовать как функцию двух вещественных переменных или как функцию одной комплексной переменной . Обозначив получим:

Выражение (4) представляет собой разложение по системе затухающих комплексных экспонент , которое носит название преобразования Лапласа, где — оператор преобразования.

Исходный сигнал называют оригиналом, а — образом, или изображением оригинала.

Обратное преобразование Лапласа

Обратное преобразование Фурье (3) от имеет вид:

Умножим левую и правую части (5) на , получим:

Учтём, что , изменим переменную интегрирования с на :

При этом верхний и нижний пределы интегрирования равны:

Окончательно (6) с учётом 7 и (8):

Выражение (9) определяет обратное преобразование Лапласа, которое обозначается оператором .

Некоторые свойства преобразования Лапласа

Свойство линейности
Пусть сигнал . Тогда преобразование Лапласа :

Следствием (10) является умножение на константу:

Свойство подобия (масштабирование по аргументу)
Пусть сигнал имеет образ . Тогда изображение масштабированного во времени сигнала равно:

Аналогично можно показать [2], что масштабирование образа по аргументу приводит к оригиналу вида:

Преобразование Лапласа задержанного сигнала
Рассмотрим преобразование Лапласа сигнала , задержанного во времени на положительную величину .

Важно отметить, что (14) справедливо, если задержка положительна, как это показано на рисунке 1.

Рисунок 1. Пример положительной и отрицательной

Если же задержка отрицательна, то [2, стр. 40–41]:

Аналогичное свойство смещения образа:

Таким образом, смещение образа на произвольное комплексное приводит к умножению сигнала на .

Свойство дифференцирования оригинала и образа
Пусть дан сигнал и его преобразование Лапласа равно . Рассмотрим преобразование Лапласа производной сигнала :

Применяя правило интегрирования по частям [3, стр. 330]:

где — значение сигнала при . Если функция при имеет разрыв, то вместо необходимо брать правый предел :

Читать еще:  Как из войлока сделать тапочки. Тапочки из войлока: способы изготовления. Мастер классы разных уровней сложности. Как собрать войлочные тапочки?

при стремлении к нулю справа.

Таким образом, использование аппарата преобразования Лапласа позволяет заменить дифференцирование умножением образа на переменную . Это важнейшее свойство дало возможность перейти от дифференциальных уравнений при анализе цепей переменного тока к алгебраическим и использовать всю мощь аппарата операционного исчисления и теории функций комплексного переменного для синтеза и анализа электрических цепей.

Приведем также выражение для обратного преобразования Лапласа производной образа [4, стр. 224]. Пусть — образ сигнала . Тогда

где — производная -го порядка образа .

Свойство интегрирования оригинала и образа
Пусть сигнал есть результат интегрирования сигнала :

Рассмотрим преобразование Лапласа от :

Изменим порядок интегрирования и получим:

Получили еще одно важнейшее свойство: образ интеграла от входного сигнала равен образу этого сигнала, деленного на переменную . Это свойство также позволяет заменить интегральные уравнения и системы на алгебраические.

Преобразование Лапласа свертки двух сигналов
Пусть сигнал представляет собой свертку двух сигналов и , определяемую соотношением:

Важность интеграла свертки (24) в том, что им описывается результат прохождения сигнала через линейный фильтр с импульсной характеристикой .

Обратим внимание, что пределы интегрирования от 0 до обусловлены тем, что и отличны от нуля только для положительных значений переменной .

Рассмотрим преобразование Лапласа сигнала :

Поменяем местами операции интегрирования, и учтем свойство временного сдвига (14):

Таким образом, интеграл свертки заменяется произведением образов входного сигнала и образа импульсной характеристики фильтра .

Данное свойство также является очень важным, поскольку анализ многокаскадных фильтров заменяется простым произведением образов импульсных характеристик этих фильтров.

Выводы

В данном разделе мы рассмотрели преобразование Лапласа и его некоторые свойства.

Аппарат операционного исчисления является основным инструментом анализа электрических цепей переменного тока, ввиду возможности замены операций дифференцирования и интегрирования алгебраическим умножением и делением на переменную .

Подробнее использование преобразования Лапласа для анализа цепей переменного тока будет рассмотрено в следующем разделе.

Преобразование Лапласа

Преобразова́ние Лапла́са — интегральное преобразование, связывающее функцию комплексного переменного (изображение) с функцией вещественного переменного (оригинал). С его помощью исследуются свойства динамических систем и решаются дифференциальные и интегральные уравнения.

Одной из особенностей преобразования Лапласа, которые предопределили его широкое распространение в научных и инженерных расчётах, является то, что многим соотношениям и операциям над оригиналами соответствуют более простые соотношения над их изображениями. Так, свёртка двух функций сводится в пространстве изображений к операции умножения, а линейные дифференциальные уравнения становятся алгебраическими.

Содержание

Определение

Прямое преобразование Лапласа

Преобразованием Лапласа функции вещественной переменной , называется функция комплексной переменной [1] , такая что:

Правая часть этого выражения называется интегралом Лапласа.

Обратное преобразование Лапласа

Обратным преобразованием Лапласа функции комплексного переменного , называется функция вещественной переменной, такая что:

где — некоторое вещественное число (см. условия существования). Правая часть этого выражения называется интегралом Бромвича.

Двустороннее преобразование Лапласа

Двустороннее преобразование Лапласа — обобщение на случай задач, в которых для функции участвуют значения .

Двустороннее преобразование Лапласа определяется следующим образом:

Дискретное преобразование Лапласа

Применяется в сфере систем компьютерного управления. Дискретное преобразование Лапласа может быть применено для решётчатых функций.

Различают -преобразование и -преобразование.

  • -преобразование

Пусть — решётчатая функция, то есть значения этой функции определены только в дискретные моменты времени , где — целое число, а — период дискретизации.

Тогда применяя преобразование Лапласа получим:

  • -преобразование

Если применить следующую замену переменных:

Читать еще:  Чудотворная икона божией матери живоносный источник. Икона «Живоносный источник» — в чём она сможет помочь

получим -преобразование:

Свойства и теоремы

  • Абсолютная сходимость

Если интеграл Лапласа абсолютно сходится при , то есть существует предел

то он сходится абсолютно и равномерно для и — аналитичная функция при ( — вещественная часть комплексной переменной ). Точная нижняя грань множества чисел , при которых это условие выполняется, называется абсциссой абсолютной сходимости преобразования Лапласа для функции .

  • Условия существования прямого преобразования Лапласа

Преобразование Лапласа существует в смысле абсолютной сходимости в следующих случаях:

  1. : преобразование Лапласа существует, если существует интеграл ;
  2. sigma_a» border=»0″ />: преобразование Лапласа существует, если интеграл существует для каждого конечного 0″ border=»0″ /> и для x_2geqslant 0″ border=»0″ />;
  3. 0″ border=»0″ /> или sigma_a» border=»0″ /> (какая из границ больше): преобразование Лапласа существует, если существует преобразование Лапласа для функции (производная от ) для sigma_a» border=»0″ />.

Примечание: это достаточные условия существования.

  • Условия существования обратного преобразования Лапласа

Для существования обратного преобразования Лапласа достаточно выполнение следующих условий:

  1. Если изображение — аналитичная функция для и имеет порядок меньше −1, то обратное преобразование для неё существует и непрерывно для всех значений аргумента, причём для .
  2. Пусть , так что аналитична относительно каждого и равна нулю для , и sigma_colon k=1,;2,;ldots,;n)» border=»0″ />, тогда обратное преобразование существует и соответствующее прямое преобразование имеет абсциссу абсолютной сходимости.

Примечание: это достаточные условия существования.

Преобразованием Лапласа свёртки двух оригиналов является произведение изображений этих оригиналов:

  • Умножение изображений

Левая часть этого выражения называется интегралом Дюамеля, играющим важную роль в теории динамических систем.

  • Дифференцирование и интегрирование оригинала

Изображением по Лапласу первой производной от оригинала по аргументу является произведение изображения на аргумент последнего за вычетом оригинала в нуле справа:

В более общем случае (производная -го порядка):

Изображением по Лапласу интеграла от оригинала по аргументу является изображение оригинала, делённое на свой аргумент:

  • Дифференцирование и интегрирование изображения

Обратное преобразование Лапласа от производной изображения по аргументу есть произведение оригинала на свой аргумент, взятое с обратным знаком:

Обратное преобразование Лапласа от интеграла изображения по аргументу есть оригинал этого изображения, делённый на свой аргумент:

  • Запаздывание оригиналов и изображений. Предельные теоремы

Примечание: — функция Хевисайда.

Теоремы о начальном и конечном значении (предельные теоремы):

, все полюсы в левой полуплоскости.

Теорема о конечном значении очень полезна, так как описывает поведение оригинала на бесконечности с помощью простого соотношения. Это, например, используется для анализа устойчивости траектории динамической системы.

Умножение на число:

Прямое и обратное преобразование Лапласа некоторых функций

Ниже представлена таблица преобразования Лапласа для некоторых функций.

Преобразование Лапласа

Преобразова́ние Лапла́са — интегральное преобразование, связывающее функцию комплексного переменного (изображение) с функцией вещественного переменного (оригинал). С его помощью исследуются свойства динамических систем и решаются дифференциальные и интегральные уравнения.

Одной из особенностей преобразования Лапласа, которые предопределили его широкое распространение в научных и инженерных расчётах, является то, что многим соотношениям и операциям над оригиналами соответствуют более простые соотношения над их изображениями. Так, свёртка двух функций сводится в пространстве изображений к операции умножения, а линейные дифференциальные уравнения становятся алгебраическими.

Содержание

Определение

Прямое преобразование Лапласа

Преобразованием Лапласа функции вещественной переменной , называется функция комплексной переменной [1] , такая что:

Правая часть этого выражения называется интегралом Лапласа.

Обратное преобразование Лапласа

Обратным преобразованием Лапласа функции комплексного переменного , называется функция вещественной переменной, такая что:

где — некоторое вещественное число (см. условия существования). Правая часть этого выражения называется интегралом Бромвича.

Двустороннее преобразование Лапласа

Двустороннее преобразование Лапласа — обобщение на случай задач, в которых для функции участвуют значения .

Двустороннее преобразование Лапласа определяется следующим образом:

Дискретное преобразование Лапласа

Применяется в сфере систем компьютерного управления. Дискретное преобразование Лапласа может быть применено для решётчатых функций.

Различают -преобразование и -преобразование.

  • -преобразование

Пусть — решётчатая функция, то есть значения этой функции определены только в дискретные моменты времени , где — целое число, а — период дискретизации.

Тогда применяя преобразование Лапласа получим:

  • -преобразование

Если применить следующую замену переменных:

получим -преобразование:

Свойства и теоремы

  • Абсолютная сходимость

Если интеграл Лапласа абсолютно сходится при , то есть существует предел

то он сходится абсолютно и равномерно для и — аналитичная функция при ( — вещественная часть комплексной переменной ). Точная нижняя грань множества чисел , при которых это условие выполняется, называется абсциссой абсолютной сходимости преобразования Лапласа для функции .

  • Условия существования прямого преобразования Лапласа

Преобразование Лапласа существует в смысле абсолютной сходимости в следующих случаях:

  1. : преобразование Лапласа существует, если существует интеграл ;
  2. sigma_a» border=»0″ />: преобразование Лапласа существует, если интеграл существует для каждого конечного 0″ border=»0″ /> и для x_2geqslant 0″ border=»0″ />;
  3. 0″ border=»0″ /> или sigma_a» border=»0″ /> (какая из границ больше): преобразование Лапласа существует, если существует преобразование Лапласа для функции (производная от ) для sigma_a» border=»0″ />.

Примечание: это достаточные условия существования.

  • Условия существования обратного преобразования Лапласа

Для существования обратного преобразования Лапласа достаточно выполнение следующих условий:

  1. Если изображение — аналитичная функция для и имеет порядок меньше −1, то обратное преобразование для неё существует и непрерывно для всех значений аргумента, причём для .
  2. Пусть , так что аналитична относительно каждого и равна нулю для , и sigma_colon k=1,;2,;ldots,;n)» border=»0″ />, тогда обратное преобразование существует и соответствующее прямое преобразование имеет абсциссу абсолютной сходимости.

Примечание: это достаточные условия существования.

Преобразованием Лапласа свёртки двух оригиналов является произведение изображений этих оригиналов:

  • Умножение изображений

Левая часть этого выражения называется интегралом Дюамеля, играющим важную роль в теории динамических систем.

  • Дифференцирование и интегрирование оригинала

Изображением по Лапласу первой производной от оригинала по аргументу является произведение изображения на аргумент последнего за вычетом оригинала в нуле справа:

В более общем случае (производная -го порядка):

Изображением по Лапласу интеграла от оригинала по аргументу является изображение оригинала, делённое на свой аргумент:

  • Дифференцирование и интегрирование изображения

Обратное преобразование Лапласа от производной изображения по аргументу есть произведение оригинала на свой аргумент, взятое с обратным знаком:

Обратное преобразование Лапласа от интеграла изображения по аргументу есть оригинал этого изображения, делённый на свой аргумент:

  • Запаздывание оригиналов и изображений. Предельные теоремы

Примечание: — функция Хевисайда.

Теоремы о начальном и конечном значении (предельные теоремы):

, все полюсы в левой полуплоскости.

Теорема о конечном значении очень полезна, так как описывает поведение оригинала на бесконечности с помощью простого соотношения. Это, например, используется для анализа устойчивости траектории динамической системы.

Умножение на число:

Прямое и обратное преобразование Лапласа некоторых функций

Ниже представлена таблица преобразования Лапласа для некоторых функций.

Источники:

http://ru.dsplib.org/content/laplace/laplace.html
http://dic.academic.ru/dic.nsf/ruwiki/131073
http://dic.academic.ru/dic.nsf/ruwiki/131073

Ссылка на основную публикацию
Статьи на тему:

Adblock
detector