Симметричная матрица а соответствует квадратичной форме вида. Квадратичные формы и квадрики

5.1.4. Квадратичные формы и их связь с симметрическими матрицами

Квадратичной формой действительных переменных Х1, х2,…,хN называется многочлен второй степени относительно этих переменных, не содержащий свободного члена и членов первой степени.

Примеры квадратичных форм:

Напомним определение симметрической матрицы:

Квадратная матрица называется Симметрической, если

,

То есть если равны элементы матрицы, симметричные относительно главной диагонали.

Свойства собственных чисел и собственных векторов симметрической матрицы:

1) Все собственные числа симметрической матрицы действительные.

Доказательство (для N = 2).

Пусть матрица А имеет вид:

Составим характеристическое уравнение:

Следовательно, уравнение имеет только действительные корни.

2) Собственные векторы симметрической матрицы ортогональны.

Доказательство (для N = 2).

Координаты собственных векторов

Должны удовлетворять уравнениям:

Следовательно, их можно задать так:

Скалярное произведение этих векторов имеет вид:

По теореме Виета из уравнения (9) получим, что

Подставим эти соотношения в предыдущее равенство:

Значит, .

Замечание. В примере 1 были найдены собственные векторы симметрической матрицы и обращено внимание на то, что они оказались попарно ортогональными.

Матрицей квадратичной формы (8) называется симметрическая матрица

Таким образом, все собственные числа матрицы квадратичной формы действительны, а все собственные векторы ортогональны. Если все собственные числа различны, то из трех нормированных собственных векторов матрицы (10) можно построить базис в трехмерном пространстве. В этом базисе квадратичная форма будет иметь особый вид, не содержащий произведений переменных.

Читать еще:  Массовая доля элемента в сложном веществе. Расчёт массовой доли химических элементов по формуле вещества

Математический портал

Nav view search

Navigation

Search

  • Вы здесь:
  • Home
  • Аналитическая геометрия
  • Квадратичные формы. Матрица квадратичной формы.

Квадратичные формы. Матрица квадратичной формы. Положительно определенные квадратичные формы, критерий Сильвестра.

Литература: Сборник задач по математике. Часть 1. Под ред А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича.

Если в действительном линейном пространстве $L_n$ фиксирован некоторый базис $B=(e_1, . e_n),$ то квадратичная форма $A(x, x)$ в этом базисе имеет вид $$A(x, x)=sumlimits_^n a_x_ix_j,$$ где $$A=(a_)=begina_<11>&a_<12>&cdots&a_<1n>\a_<21>&a_<22>&cdots&a_<2n>\vdots&vdots&ddots&vdots\a_&a_&cdots&a_end$$ — матрица квадратичной формы и $x=x_1e_1+. +x_ne_n.$

Квадратичная форма $A(x, x),$ определенная в действительном линейном пространстве $L_n,$ называется положительно (отрицательно) определенной, если для всякого $xin L_n,,, (xneq 0)$ $$A(x, x)>0 qquad ( 0,,,k=1, 2, cdots, n.$

Можно доказать, что для того, чтобы квадратичная форма $A(x, x)$ была отрицательно определнной, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись неравенства $(-1)^kD_k>0,,,k=1, 2, cdots, n.$

Примеры.

В следующих задачах определить, какие квадратичные формы являются положительно или отрицательно определенными, а какие — нет.

4.218. $x_1^2+26x_2^2+10x_1x_2.$

Решение.

Матрица квадратичной формы имеет вид $$A=begin1&5\5&26end.$$

Вычислим главные миноры матрицы $A:$

Таким образом, все главные миноры ее матрицы $A$ были положительны, а это значит, что заданная квадратичная форма положительно определенная.

Ответ: положительно определенная.

4.219. $-x_1^2+2x_1x_2-4x_2^2.$

Решение.

Матрица квадратичной формы имеет вид $$A=begin-1&1\1&-4end.$$

Вычислим главные миноры матрицы $A:$

Таким образом, выполняются неравенсва $(-1)^kD_k>0,,,k=1, 2, cdots, n,$ то есть заданная квадратичная форма отрицательно определенная.

Ответ: отрицательно определенная.

4.223.$2x_4^2+x_1x_2+x_1x_3-2x_2x_3+2x_2x_4.$

Решение.

Матрица квадратичной формы имеет вид $$A=begin0&0,5&0,5&0\0,5&0&-1&1\0,5&-1&0&0\0&0&0&2end.$$

Вычислим главные миноры матрицы $A:$

Следовательно, квадратичная форма не является ни положительно, ни отрицательно определенной.

Читать еще:  Простыми словами о преобразовании фурье. Дискретное преобразование Фурье (ДПФ)

Ответ: общего вида.

Домашнее задание.

В следующих задачах определить, какие квадратичные формы являются полопжительно или отрицательно определенными, а какие — нет.

4.220.$x_1^2-15x_2^2+4x_1x_2-2x_1x_3+6x_2x_3.$

Ответ: общего вида.

4.221.$12x_1x_2-12x_1x_3+6x_2x_3-11x_1^2-6x_2^2-6x_3^2.$

Ответ: отрицательно определенная.

4.222.$9x_1^2+6x_2^2+6x_3^2+12x_1x_2-10x_1x_3-2x_2x_3.$

Ответ: положительно определенная.

4.224.$x_1^2+4x_2^2+4x_3^2+8x_4^2+8x^2x_4.$

Ответ: положительно определенная.

Симметричная матрица а соответствует квадратичной форме вида. Квадратичные формы и квадрики

Каждую квадратичную форму можно записать в стандартном виде. Для этого сначала приведем подобные в квадратичной форме, затем обозначим коэффициент при xi 2 через aii, а коэффициент при произведении xixk (i≠k)- через aik+aki причем aik=aki. Член(aik+aki) xixk запишем в виде aik xixk+aki xkxi. Теперь квадратичную форму можно записать в виде

F(x1, x2,…, xn)=a11x1x1+ a12x1x2+…+ a1nx1xn+ a21x2x1+ a22x2x2+…+ a2nx2xn+ an1xnx1+ an2xnx2+… +annxnx1n=

a11 a12 … a1n

называется матрицей квадратичной формы F. Т.к. aik=aki, то А — симметрическая матрица.

37.​ Приведение квадрат. Формы к каноническому и нормальному видам.

Определение. Вид квадратичной формы, содержащей только квадраты переменных:

Заметим, что матрица такой квадратичной формы будет диагональной.

Определение. Если для канонического вида квадратичной формы коэффициенты принимают значения или 0, то вид квадратичной формы называется нормальным.

Всякая квадратичная форма может быть приведена к каноническому виду с помощью линейных преобразования переменных.

Способ приведения квадратичной формы к каноническому виду

1. если квадратичная форма не содержит квадратных переменных, то применим линейные преобразования, в результате получается квадр. форма c квадр. переменными;

2. далее дополним до полного квадрата, приводим форму к каноническому виду.

38.​ Закон инерции. Положительно (отрицательно) определенные квадратичные формы, критерий Сильвестра.

Ранг, положительный и отрицательный индексы, а также сигнатура вещественной квадратичной формы не зависят от действительной невырожденной линейной замены переменных, приводящей квадратичную форму к каноническому виду.

Читать еще:  Что означает и как переводится имя алина. Происхождение и характер имени алина

Из теоремы следует, что 2 канонических вида 1ой квадратичной формы имеют:

а) одинаковое количество ненулевых слагаемых (определяется рангом квадр.формы);

б) одинаковое количество слагаемых одного знака.

Квадратичная форма F (æ) называется положительно определенной, если значение F (æ) на каждом ненулевом векторе α больше нуля, т.е. F(α)>0, если α≠θ, α∈R n .

Источники:

http://matica.org.ua/metodichki-i-knigi-po-matematike/lineinaia-algebra-i-analiticheskaia-geometriia/5-1-4-kvadratichnye-formy-i-ikh-sviaz-s-simmetricheskimi-matritcami
http://mathportal.net/index.php/analiticheskaya-geometriya/kvadratichnye-formy-matritsa-kvadratichnoj-formy
http://studfile.net/preview/4257481/page:4/

Ссылка на основную публикацию
Статьи на тему:

Adblock
detector