Численное определение коэффициентов плоскости касательной к поверхности. Плоскость, касательная к поверхности

Касательная плоскость и нормаль к поверхности

Касательной плоскостью к поверхности σ в её точке М называется плоскость, в которой лежат касательные ко всем кривым, проведённым на поверхности σ через точку М.
Уравнение касательной плоскости к поверхности, заданной уравнением z = f(x,y) , в точке M(x,y,z) имеет вид:

Пример №1 . Поверхность задана уравнением x 3 +5y . Найти уравнение касательной плоскости к поверхности в точке M(0;1).
Решение. Запишем уравнения касательной в общем виде: z — z = f’x(x,y,z)(x — x) + f’y(x,y,z)(y — y)
По условию задачи x = 0 , y = 1 , тогда z = 5
Найдем частные производные функции z = x^3+5*y :
f’x(x,y) = (x 3 +5•y)’x = 3•x 2
f’x(x,y) = (x 3 +5•y)’y = 5
В точке М(0,1) значения частных производных:
f’x(0;1) = 0
f’y(0;1) = 5
Пользуясь формулой, получаем уравнение касательной плоскости к поверхности в точке М: z — 5 = 0(x — 0) + 5(y — 1) или -5•y+z = 0

Пример №2 . Поверхность задана неявным образом y 2 -1/2*x 3 -8z. Найти уравнение касательной плоскости к поверхности в точке M(1;0;1).
Решение. Находим частные производные функции. Поскольку функция задана в неявном виде, то производные ищем по формуле:

Для нашей функции:

Тогда:

В точке М(1,0,1) значения частных производных:
f’x(1;0;1) = -3 /16
f’y(1;0;1) = 0
Пользуясь формулой, получаем уравнение касательной плоскости к поверхности в точке М: z — 1 = -3 /16(x — 1) + 0(y — 0) или 3 /16•x+z- 19 /16 = 0

Пример . Поверхность σ задана уравнением z= y/x + xy – 5x 3 . Найти уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности σ в точке М(x, y, z), принадлежащей ей, если x = –1, y = 2.
Найдем частные производные функции z= f(x, y) = y/x + xy – 5x 3 :
fx’(x, y) = (y/x + xy – 5x 3 )’x = – y/x 2 + y – 15x 2 ;
fy’ (x, y) = (y/x + xy – 5x 3 )’y = 1/x + x.
Точка М(x, y, z) принадлежит поверхности σ, поэтому можно вычислить z, подставив заданные x = –1 и y = 2 в уравнение поверхности:

Пример №1 . Дана функция z=f(x,y) и две точки А(х, y) и В(х1,y1). Требуется: 1) вычислить значение z1 функции в точке В; 2) вычислить приближенное значение z1 функции в точке В исходя из значения z функции в точке А, заменив приращение функции при переходе от точки А к точке В дифференциалом; 3) составить уравнение касательной плоскости к поверхности z = f(x,y) в точке C(x,y,z).
Решение.
Запишем уравнения касательной в общем виде:
z — z = f’x(x,y,z)(x — x) + f’y(x,y,z)(y — y)
По условию задачи x = 1, y = 2, тогда z = 25
Найдем частные производные функции z = f(x,y)x^2+3*x*y*+y^2:
f’x(x,y) = (x 2 +3•x•y•+y 2 )’x = 2•x+3•y 3
f’x(x,y) = (x 2 +3•x•y•+y 2 )’y = 9•x•y 2
В точке М(1,2) значения частных производных:
f’x(1;2) = 26
f’y(1;2) = 36
Пользуясь формулой, получаем уравнение касательной плоскости к поверхности в точке М:
z — 25 = 26(x — 1) + 36(y — 2)
или
-26•x-36•y+z+73 = 0

Читать еще:  Андрей Первозванный: Неразгаданные тайны. Апостол Андрей Первозванный: первый из двенадцати

Пример №2 . Написать уравнения касательной плоскости и нормали к эллиптическому параболоиду z = 2x 2 + y 2 в точке (1;-1;3).
Скачать решение

ПЛОСКОСТИ, КАСАТЕЛЬНЫЕ К ПОВЕРХНОСТИ

Касательные плоскости в практическом отношении имеют важное значение, так как с их помощью можно определить направление нормали к поверхности в точке касания. Например, при исследовании формы поверхности около точки касания в зубчатых и червячных зацеплениях, при построении контуров теней в проектировании архитектурных сооружений и т.п.

Определителем плоскости, касательной к поверхности в некоторой ее точке, в общем случае являются две касательные к двум кривым, проведенным на поверхности через эту точку (рис. 181).

Касательная плоскость О в точке N сферы Ф определяется двумя пересекающимися прямыми в этой точке: N= АВ n CD, касательными к кривым / и t.

Перпендикуляр, восстановленный к касательной плоскости в точке ее касания к поверхности, называется нормалью поверхности в данной точке. Любая плоскость, проходящая через нормаль поверхности, называется нормальной плоскостью.

? ис -181 Проведение касательной плоскости к поверхности значительно упрощается, если в качестве кривых, проходящих через заданную точку, использовать параллели и меридианы поверхности.

На рис. 182 приведен пример проведения касательной плоскости © к поверхности вращения общего вида Ф (т, /) в точке А, принадлежащей Ф.

Для решения задачи через точку Л проводим параллель р, которая проецируется в натуральную величину на горизонтальной плоскости проекций. Проводим к параллели касательную t в точке А. Затем через точку А необходимо провести меридиан т и касательную t’ к нему в той же точке. На эпюре выполнить на кривой поверхности эту операцию с однозначным решением затруднительно. Поэтому меридиан вместе с точкой А поворачивают вокруг оси i до совпадения с главным меридианом т, после чего через точку А проводят касательную t’ к главному меридиану т до пересечения с осью i в точке С. При построениях может оказаться, что точка на эпюре недоступна, тогда касательную можно продолжить до пересечения горизонтальной

плоскости проекций с параллелью р’ в точке В. Возвращая меридиан в прежнее положение, проводим касательную f через точку А и точку С на оси вращения / или через точку В пересечения касательной f с плоскостью параллели р’. Полученная плоскость 0 (/ п /’) и будет искомой касательной плоскостью к поверхности Ф в точке А.

Для построения проекций нормали п к поверхности вращения 0 сначала строят проекцию касательной плоскости к поверхности в данной точке К, а затем проводят проекции нормали, используя признаки перпендикулярности прямой и плоскости на эпюре (рис. 183).

При решении этой задачи использовался алгоритм построения предыдущего примера.

Примеры для самостоятельной работы

Для закрепления навыков построения касательных плоскостей к поверхностям вращения предлагаются три задачи, решение которых дается в динамике построений в соответствии со ступенями алгоритма.

Построить касательную плоскость 0 в точке А, взятой на конической поверхности (рис. 184).

Проводим образующую SM 2M2) через точку А (рис. 185).

Читать еще:  Мужчина козерог как проявляется его любовь. Влюбленный козерог мужчина признаки

На горизонтальной плоскости проекций проводим проекцию прямой Ь, касательную к основанию цилиндрической поверхности в точке Му, и затем находим фронтальную проекцию Ь2. Эта прямая b — горизонталь (рис. 186).

Построенные две пересекающиеся прямые AM <АХМХ, А2М2) и b (Ь<, Ь2) образуют искомую касательную плоскость 0 (SM п Ь) (рис. 187).

Рис. 184 Рис. 185 Рис. 188

Провести плоскость X, касательную к сферической поверхности в точке Л 12) (рис. 188).

На эпюре удобно построить любую плоскость, заданную двумя пересекающимися прямыми уровня — горизонталью h и фрон- талью/. Из центра сферы О (0<, 02) проводим радиус ОА (01А1, О2А2). На горизонтальной плоскости проекций nj проводим гори-

зонтальную проекцию горизонтали hl, перпендикулярную к радиусу сферы в точке A: hx _L OlAl (рис. 189).

Зная эпюрные признаки фронтали /j || х[2, через точку А (Ах, А2) проводим проекции фронтали/(/i,/2). В итоге получаем искомую касательную плоскость A, (рис. 190).

Рис. 189 Рис. 190

Через точку А (Ах, А2), взятую на цилиндрической поверхности, провести плоскость Т, касательную к этой поверхности (рис. 191).

Проводим через точку А (А х, А2) образующую и находим след Н (Нь Н2) этой прямой (рис. 192).

Проводим прямую b (Ьх, Ь2), касательную к основанию цилиндрической поверхности в точке Н (рис. 193).

Полученные две пересекающиеся прямые АН и b(bx, Ь2) образуют искомую касательную плоскость Т <АНп Ь) (рис. 194).

Численное определение коэффициентов плоскости касательной к поверхности. Плоскость, касательная к поверхности

Касательные плоскости играют большую роль в геометрии. В теоретическом плане плоскости, касательные к поверхности, используются в дифференциальной геометрии при изучении свойств поверхности в районе точки касания.

Решение задач, возникающих при проектировании и конструировании поверхностей-оболочек, требует проведения касательных плоскостей и нормалей к поверхности. При построении на проекционном чертеже очерков поверхностей по заданному направлению проецирования, при определении контуров собственных теней также необходимо строить касательные плоскости к поверхности. Построение касательной плоскости к поверхности представляет частный случай пересечения поверхности плоскостью.

Рисунок 123. Плоскость касательная поверхности

Плоскость, касательная к поверхности, имеет общую с этой поверхностью точку, прямую или плоскую кривую линию. Плоскость в одном месте может касаться поверхности, а в другом пересекать эту поверхность. Линия касания может одновременно являться и линией пересечения поверхности плоскостью.

Плоскость α (рис.123), представленную двумя касательными, проведенными в точке А поверхности Ф, называется касательной плоскостью к поверхности в данной ее точке.

Любая кривая поверхности, проходящая через точку А, имеет в этой точке касательную прямую, принадлежащую плоскости α .

Не в каждой точке поверхности можно провести касательную плоскость. В некоторых точках касательная плоскость не может быть определена или не является единственной. Такие точки называются особыми точками поверхности, например вершина конической поверхности.

Прямую линию, проходящую через точку касания и перпендикулярную касательной плоскости, называют нормалью поверхности в данной точке.

Читать еще:  Описание перков в dead by daylight. В Dead by Daylight появился новый маньяк Freddy Krueger

В зависимости от вида поверхности, касательная плоскость может иметь с поверхностью как одну общую точку, так и множество точек. В зависимости от того, с каким случаем касания, мы имеем дело, точки, принадлежащие поверхности подразделяют на эллиптические, параболические и гиперболические:

Если касательная плоскость имеет с поверхностью только одну общую точку, то все принадлежащие поверхности линии, проходящие через эту точку, будут расположены по одну сторону от касательной плоскости (рис.123). Такие точки называются эллиптическими.

В случае проведения касательной плоскости к торсовой поверхности, образованной непрерывным перемещением касательной прямой к некоторой пространственной кривой линии (частный случай — коническая поверхность), плоскость будет касаться поверхности по прямой линии – образующей. Точки, принадлежащие этой образующей, называются параболическими (рис.124).

Рисунок 124. Параболические точки касания

Точки поверхности, в которых касательная плоскость пересекает поверхность, называют гиперболическими (рис.125). Гиперболическая точка принадлежит линии, по которой касательная плоскость пересекает поверхность.

Рисунок 125. Гиперболические точки касания

Задание касательной плоскости на эпюре Монжа

Так как плоскость однозначно определяется двумя пересекающимися прямыми, то для построения касательной плоскости к поверхности в данной точке, достаточно через эту точку провести две линии принадлежащие поверхности и к каждой из них провести касательные в заданной точке.

Касательной прямой к поверхности называется прямая, касательная к какой-либо кривой принадлежащей поверхности.

Рассмотрим на примере (рис.126) построение касательной плоскости к параболоиду вращения Ф в точке М.

Рисунок 126. Построение касательной плоскости к параболоиду вращения

Для решения этой задачи через точку М проведем две кривые плоские линии n и m принадлежащие поверхности Ф. Линия n — окружность, лежащая в горизонтальной плоскости уровня проведенной через точку М, линия m – парабола, лежащая в горизонтально проецирующей плоскости проведенной через вершину параболоида и точку М. Чтобы построить касательную плоскость достаточно провести к данным линиям касательные.

Касательная к плоской кривой линии лежит в одной плоскости с ней. Так как линия n лежит в горизонтальной плоскости, то на плоскость П1 она проецируется в натуральную величину n1, что позволяет сразу построить горизонтальную проекцию касательной к ней t1 1 . На плоскость П2 — окружность проецируется в прямую n2, а фронтальная проекция касательной t2 1 будет с ней совпадать.

Линия m лежит в горизонтально проецирующей плоскости, поэтому её горизонтальная проекция m1 – прямая, определяющая и горизонтальную проекцию касательной t1 2 .

На плоскость П2 парабола проецируется с искажением m2, поэтому для построения касательной, повернем поверхность Ф вокруг оси, до совмещения плоскости параболы с фронтальной плоскостью проекций, проекция точки М2 при этом переместиться в положение точки М2 * .

Через эту точку проведем касательную t2 2* к очерку параболоида. И обратным вращением находим проекцию касательной t2 2 .

Две пересекающиеся в точке М2 прямые t2 1 и t2 2 определяют положение фронтальной проекции касательной плоскости α 2, а прямые t1 1 и t1 2 – горизонтальную проекцию касательной плоскость α 1.

Таким образом на эпюре получена плоскость α касательная к поверхности параболоида вращения в точке М.

Источники:

http://math.semestr.ru/math/tangent-plane.php
http://studref.com/418843/matematika_himiya_fizik/ploskosti_kasatelnye_poverhnosti
http://graph.power.nstu.ru/wolchin/umm/Graphbook/book/001/041/03.htm

Ссылка на основную публикацию
Статьи на тему:

Adblock
detector