Расстояние между двумя параллельными прямыми. Разработка урока «Расстояние от точки до прямой

Геометрия. 7 класс

Конспект урока

Расстояние от точки до прямой. Расстояние между параллельными прямыми

Перечень рассматриваемых вопросов:

  • Понятие наклонной.
  • Расстояние от точки до прямой.
  • Расстояние между параллельными прямыми.
  • Теорема о равноудалённости точек параллельных прямых.

Наклонной, проведенной из данной точки к данной прямой, называется любой отрезок, соединяющий данную точку с точкой прямойине являющийся перпендикуляром к прямой.

Длина перпендикуляра, проведенного из точки к прямой, называется расстоянием от этой точки до прямой.

Все точки каждой из двух параллельных прямых равноудалены от другой прямой.

Все точки плоскости, расположенные по одну сторону от данной прямой и равноудаленные от неё, лежат на прямой, параллельной данной.

Расстояние от произвольной точки одной из параллельных прямых до другой прямой называется расстоянием между этими прямыми.

  1. Атанасян Л. С. Геометрия: 7–9 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. – М.: Просвещение, 2017. – 384 с.
  1. Атанасян Л. С. Геометрия: Методические рекомендации 7 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Глазков Ю. А. и др. – М.: Просвещение, 2019. – 95 с.
  2. Зив Б. Г. Геометрия: Дидактические материалы 7 класс. // Зив Б. Г., Мейлер В. М. – М.: Просвещение, 2019. – 127 с.
  3. Мищенко Т. М. Дидактические материалы и методические рекомендации для учителя по геометрии 7 класс. // Мищенко Т. М., – М.: Просвещение, 2019. – 160 с.
  4. Атанасян Л. С. Геометрия: Рабочая тетрадь 7 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Глазков Ю. А., Юдина И. И. – М.: Просвещение, 2019. – 158 с.
  5. Иченская М. А. Геометрия: Самостоятельные и контрольные работы 7–9классы. // Иченская М. А. – М.: Просвещение, 2019. – 144 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения.

Расстояние между двумя точками – длина отрезка, соединяющего эти точки. Введём также следующие понятия:

1) расстояние от точки до прямой;

2) расстояние между параллельными прямыми.

Пусть отрезок АН – перпендикуляр, проведённый из точки А к прямой а, М – любая точка прямой а, отличная от Н. Отрезок АМ называется наклонной, проведённой из точки А к прямой а. В прямоугольном треугольнике АНМ катет АН меньше гипотенузы АМ. Следовательно, перпендикуляр, проведённый из точки к прямой, меньше любой наклонной, проведённой из той же точки к этой прямой.

Длина перпендикуляра, проведённого из точки к прямой, называется расстоянием от этой точки до прямой.

Отметим, что расстояние от точки до прямой равно наименьшему из расстояний от этой точки до точек прямой.

На рисунке расстояние от точки В до прямой р равно 3 см, а расстояние от точки С до этой прямой равно 5 см.

Прежде чем ввести понятие расстояния между параллельными прямыми, рассмотрим одно из важнейших свойств параллельных прямых.

Теорема. Все точки каждой из двух параллельных прямых равноудалены от другой прямой.

Доказательство. Рассмотрим параллельные прямые а и b. Отметим на прямой a точку A и проведём из этой точки перпендикуляр AB к прямой b. Докажем, что расстояние от любой точки X прямой а до прямой b равно АВ.

Проведём из точки Х перпендикуляр XY к прямой b. Так как XY‎ перпендикулярно b, то XY‎ перпендикулярно а. Прямоугольные треугольники ABY и YXA равны по гипотенузе и острому углу (AY – общая гипотенуза, а углы 1 и 2 равны как накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых a и b секущей AY). Следовательно, XY = AB.

Итак, любая точка X прямой a находится на расстоянии AB от прямой b. Очевидно, что все точки прямой b находятся на таком же расстоянии от прямой a. Теорема доказана.

Из доказанной теоремы следует, что точка, движущаяся по одной из параллельных прямых, все время находится на одном и том же расстоянии от другой прямой.

Расстояние от произвольной точки одной из параллельных прямых до другой прямой называется расстоянием между этими прямыми.

Читать еще:  Skyrim мод на магию apocalypse. Что включает в себя Apocalypse - Magic of Skyrim

Отметим, что расстояние между параллельными прямыми равно наименьшему из расстояний от точек одной прямой до точек другой прямой.

Замечание. Справедливо утверждение, обратное доказанной теореме: все точки плоскости, расположенные по одну сторону от данной прямой и равноудалённые от неё, лежат на прямой, параллельной данной.

Доказательство: по аксиоме параллельных прямых, через точку A проведем прямую b, b║a, тогда все точки b║a равноудаленыот точек прямой a. Докажем, что B, C∈ b.

Пусть B∉ b, C∉ b, значит, расстояние от точки B до a и C будет больше или меньше, чем расстояние h. Но это противоречит AA1 = BB1 = CC1.

Следовательно, наше предположение неверно и A, B и С ∈ b || a, что и требовалось доказать.

Разбор заданий тренировочного модуля.

В равностороннем треугольнике ABC проведена биссектриса AD. Расстояние от точки D до прямой AC равно 12 см. Найти расстояние от точки A до прямой BC.

Объяснение: равносторонним треугольником называется треугольник с тремя равными сторонами (значит, и с тремя равными углами, то есть – по 60°). Равносторонний треугольник является частным случаем равнобедренного, поэтому все свойства, присущие равнобедренному треугольнику, распространяются и на равносторонний. Поэтому АD – не только биссектриса, но ещё и высота, стало быть ADBC

Поскольку расстояние от точки D до прямой АС – это длина перпендикуляра, опущенного из точки D на прямую AC, то DH – данное расстояние. Рассмотрим треугольник AHD. В нём угол H = 90°, так как DH – перпендикуляр к AC (по определению расстояния от точки до прямой). Кроме этого, в данном треугольнике катет DH лежит против угла DAH = 30°, поэтому AD = 2 ∙ 12= 24см (по свойству).

Расстояние от точки А до прямой ВС – это длина опущенного на прямую ВС перпендикуляра. По доказанному AD⊥ BC, значит, AD = 24 см.

Расстояние от точки до прямой. Расстояние между параллельными прямыми

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

Этот видеоурок будет полезен тем, кто хочет самостоятельно изучить тему «Расстояние от точки до прямой. Расстояние между параллельными прямыми». В ходе урока вы сможете узнать о том, как можно рассчитать расстояние от точки до прямой. Затем учитель даст определение расстояния между параллельными прямыми.

Расстояние между двумя точками

В текущем уроке мы познакомимся с понятием «расстояние» в целом. Также мы конкретизируем данное понятие в случае вычисления расстояния между двумя точками, точкой и прямой, параллельными прямыми

Рассмотрим рисунок 1. На нём изображены 2 точки А и В. Расстоянием между двумя точками А и В является отрезок, имеющий концы в заданных точках, то есть отрезок АВ

Рис. 1. АВ – расстояние между точками

Примечательно, что расстоянием нельзя считать кривую или ломаную линии, соединяющих две точки. Расстояние – это кратчайший путь от одной точки к другой. Именно отрезок АВ является наименьшим из всех возможных линий, соединяющие точки А и В

Расстояние от точки до прямой

Рассмотрим рисунок 2, на котором изображена прямая а, и точка А, не принадлежащая данной прямой. Расстоянием от точки А до прямой будет длина перпендикуляра АН.

Рис. 2. АН – расстояние между точкой и прямой

Важно заметить, что АН – кратчайшее расстояние, так как в треугольнике АМН данный отрезок является катетом, а произвольный иной отрезок, соединяющий точку А и прямую а (в данном случае – это АМ) будет являться гипотенузой. Как известно, катет всегда меньше гипотенузы

Обозначение расстояния:

Расстояние между параллельными прямыми

Рассмотрим параллельные прямые a и b, изображённые на рисунке 3

Рис. 3. Параллельные прямые a и b

Зафиксируем две точки на прямой a и опустим из них перпендикуляры на параллельную ей прямую b. Докажем, что если ,

Проведём отрезок АМ для удобства доказательства. Рассмотрим полученные треугольники АВМ и АНМ. Поскольку , а , то . Аналогично, . У данных прямоугольных треугольников () сторона АМ – общая. Она является гипотенузой в обоих треугольниках. Углы АМН и АМВ являются внутренними накрестлежащими при параллельных прямых АВ и НМ и секущей АМ. По известному свойству, .

Из всего выше изложенного следует, что . Из равенства треугольников следует, что АН = ВМ

Итак, мы доказали, что на рисунке 3 отрезки АН и ВМ равны. Это значит, что расстоянием между параллельными прямыми является длина их общего перпендикуляра, при чём выбор перпендикуляра может быть произвольным. Таким образом,

Читать еще:  Голосование по одномандатным округам пропорциональная. Что такое комулятивный вотум? Пропорциональная отличительные характеристики

Верно и обратное утверждение: множество точек, которые находятся на одном и том же расстоянии от некоторой прямой, образуют прямую, параллельную данной

Закрепим наши знания, решим несколько задач

Пример 1

Пример 1: Задача 272 из учебника «Геометрия 7-9». Автор — Атанасян Л.С.

В равностороннем треугольнике АВС проведена биссектриса АD. Расстояние от точки D до прямой АС равно 6 см. Найти расстояние от точки А до прямой ВС

Рис. 4. Чертёж к примеру 1

Решение:

Равносторонним треугольником называется треугольник с тремя равными сторонами (а значит, и с тремя равными углами, то есть – по 60 0 ). Равносторонний треугольник является частным случаем равнобедренного, поэтому все свойства, присущие равнобедренному треугольнику, распространяются и на равносторонний. Поэтому АD – не только биссектриса, но ещё и высота, стало быть AD ⊥BC

Поскольку расстояние от точки D до прямой АС – это длина перпендикуляра, опущенного из точки D на прямую АС, то DH – данное расстояние. Рассмотрим треугольник АНD. В нём угол Н = 90 0 , так как DH – перпендикуляр к АС (по определению расстояния от точки до прямой). Кроме этого, в данном треугольнике катет DH лежит против угла , поэтому AD = (см) (По свойству)

Расстояние от точки А до прямой ВС – это длина опущенного на прямую ВС перпендикуляра. По доказанному AD ⊥BC, значит, .

Пример 2

Пример 2: Задача 277 из учебника «Геометрия 7-9». Автор — Атанасян Л.С.

Расстояние между параллельными прямыми a и b равно 3 см, а расстояние между параллельными прямыми a и c равно 5 см. Найдите расстояние между параллельными прямыми b и c

Решение:

Рис. 5. Чертёж к примеру 2 (первый случай)

Поскольку , то = 5 – 3 = 2 (см).

Однако данный ответ неполный. Существует и другой вариант расположения прямых на плоскости:

Рис. 6. Чертёж к примеру 2 (второй случай)

В данном случае .

Ответ: 2 см, 8 см.

Рекомендованные ссылки на ресурсы интернет

  1. Единая коллекция цифровых образовательных ресурсов (Источник).
  2. Репетитор по математике (Источник).

Рекомендованное домашнее задание

  1. № 280, 283. Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Позняк Э. Г., Юдина И. И. под редакцией Тихонова А. Н. Геометрия 7-9 классы. М.: Просвещение. 2010 г.
  2. Сумма гипотенузы СЕ и катета СК прямоугольного треугольника СКЕ равна 31 см, а их разность равна 3 см. найдите расстояние от вершины С до прямой КЕ
  3. На основании АВ равнобедренного треугольника АВС взята точка М, равноудалённая от боковых сторон. Докажите, что СМ – высота треугольника АВС
  4. Докажите, что все точки плоскости, расположенные по одну сторону от данной прямой и равноудалённые от неё, лежат на прямой, параллельной данной

Если вы нашли ошибку или неработающую ссылку, пожалуйста, сообщите нам – сделайте свой вклад в развитие проекта.

Конспект урока «Расстояние от точки до прямой, расстояние между параллельными прямыми»

Курс повышения квалификации за 340 рублей!

Эмоциональное выгорание педагогов. Профилактика и способы преодоления

ЦЕНТР ПОВЫШЕНИЯ КВАЛИФИКАЦИИ

«МОСКОВСКИЙ ОБЛАСТНОЙ ЦЕНТР ИНТЕРНЕТ-ОБРАЗОВАНИЯ»

Расстояние от точки до прямой. Расстояние между параллельными прямыми

(план-конспект урока геометрии в 7 классе)

МБОУ СОШ №1 г. Реутов

Куликов Алексей Юрьевич

Тема урока: «Расстояние от точки до прямой. Расстояние между параллельными прямыми».

Тип урока: Урок изучения нового материала.

Цель: Научить учащихся решать задачи на нахождение расстояния от точки до прямой и расстояния между параллельными прямыми.

Обучающая: Изучить, как находится расстояние от точки до прямой и расстояние между параллельными прямыми.

Воспитательная: Воспитание ответственности, серьезного отношения к какому-либо делу.

Развивающая: Развитие памяти, запоминание теорем.

Организационный момент (2-3 мин)

Актуализация знаний (10-12 мин)

Введение нового материала (15-18 мин)

Первичное закрепление нового материала (15-20 мин)

Подведение итогов, постановка домашнего задания (2-3 мин)

1. Организационный момент.

– Здравствуйте, ребята! Пожалуйста садитесь.

Проверка присутствующих и готовности класса к работе на уроке.

– Тема сегодняшнего урока:

«Расстояние от точки до прямой. Расстояние между параллельными прямыми».

– Целью сегодняшнего занятия является: обретение умений и навыков в решении задач на нахождение расстояния от точки до прямой и расстояния между параллельными прямыми.

2. Актуализация знаний.

– Какие прямые называются перпендикулярными?

– Две пересекающиеся прямые называются перпендикулярными, если они образуют четыре прямых угла.

Читать еще:  Описание перков в dead by daylight. В Dead by Daylight появился новый маньяк Freddy Krueger

– Что называют перпендикуляром, проведенным из данной точки к данной прямой.

– Это отрезок, соединяющий данную точку с данной прямой, проходящий под прямым углом.

– Сколько перпендикуляров можно провести из точки не лежащей на данной прямой, к данной прямой.

Устная работа, решение задач:

– Используя рисунок, укажите:

А) Отрезок, который является перпендикуляром, проведенным из точки А к прямой а.

Б) Отрезки, не являющиеся перпендикулярами, проведенными из точки А к прямой а.

Ус т ное решение задач:

– Используя рисунок, найдите сторону ВС

Угол В = 180-120=60

АВ = ½ ВС (по свойству о катете прямоугольного треугольника. Лежащего против угла в 30 градусов)

ВС = 2*АВ, следовательно ВС = 8 см

– Докажите, что треугольники равны

ВД – общая, является гипотенузой

Угол АВД = углу ДВС

Треугольник АВД = треугольнику ВДС (по гипотенузе и острому углу)

3. Введение нового материала:

– Ребята, слушайте внимательно и записывайте за мной:

Рисунок на доске:

АС – перпендикуляр,

АВ, АД – наклонные,

АС меньше АВ, АС меньше АД;

АС катет в прямоугольных треугольниках АВС и АДС, АВ и АД – гипотенузы.

– Перпендикуляр, проведенный из точки к прямой, меньше любой наклонной, проведенной из той же точки к этой прямой.

– Итак, длина перпендикуляра, проведенного из данной точки к данной прямой, называется расстоянием от этой точки до данной прямой.

– Теперь откройте учебник на стр.48 и прочитайте теорему из 37 пункта.

Один из учеников читает вслух:

– Все точки каждой из параллельных прямых равноудалены от другой прямой.

– Расстояние от произвольной точки одной из параллельных прямых до другой прямой, называется расстоянием между этими прямыми.

4. Первичное закрепление изученного материала

– Теперь приступим к решению задач на новую тему.

(Выписать на доске номера: 273, 276, 272, 278,)

Дано:

О – середина АВ, тогда АО=ВО;

АД и ВС – расстояния от концов АВ до пр. а (АД-перепенд а, ВС-перпенд а)

Рассмотрим ∆АОД и ∆ОСВ:

∆ АОД и ∆ОСВ – прямоугольные

АО=ОВ, угол АОД = углу СОВ (как вертикальные)

∆ АОД=∆ОСВ (по гипотенузе и острому углу)

4) Следовательно АД = ВС

Дано:

Найти: Расстояние от А до ВС

Расстояние от А до ВС равно АД

Угол А = углу В = углу С = 60

АД – биссектриса, значит угол ДАС = 30

Рассмотрим ∆ КАД: прямоугольный

ДК = 6 см, угол А = 30, значит ДК = ½ АД (по свойству)

№ 278 (резервное задание)

Дано:

Найти: расстояние между АВ и СД.

Расстояние между АВ и СД равно АС;

Рассмотрим ∆ АДС – прямоугольный;

Угол Д = 30, следовательно АС = ½ АД (по свойству)

5. Подведение итогов, постановка домашнего задания

– Итак, сегодня мы с вами узнали, что расстояние от точки до прямой это перпендикуляр, проведенный из данной точки к данной прямой.

Домашнее задание: (на доске крупно)

Добавляйте авторские материалы и получите призы от Инфоурок

Еженедельный призовой фонд 100 000 Р

  • Куликов Алексей Юрьевич
  • Написать
  • 2876
  • 27.01.2018

Номер материала: ДБ-1093797

Международные дистанционные олимпиады «Эрудит III»

Доступно для всех учеников
1-11 классов и дошкольников

Рекордно низкий оргвзнос

по разным предметам школьной программы (отдельные задания для дошкольников)

Идёт приём заявок

  • 27.01.2018
  • 234
  • 27.01.2018
  • 2875
  • 27.01.2018
  • 1105
  • 27.01.2018
  • 1248
  • 27.01.2018
  • 272
  • 27.01.2018
  • 309
  • 27.01.2018
  • 915
  • 27.01.2018
  • 1471

Не нашли то что искали?

Вам будут интересны эти курсы:

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение редакции может не совпадать с точкой зрения авторов.

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако редакция сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Источники:

http://resh.edu.ru/subject/lesson/7306/conspect/
http://interneturok.ru/lesson/geometry/7-klass/sootnosheniya-mezhdu-storonami-i-uglami-treugolnikov/rasstoyanie-ot-tochki-do-pryamoy-rasstoyanie-mezhdu-parallelnymi-pryamymi
http://infourok.ru/konspekt-uroka-rasstoyanie-ot-tochki-do-pryamoy-rasstoyanie-mezhdu-parallelnimi-pryamimi-2515614.html

Ссылка на основную публикацию
Статьи на тему:

Adblock
detector